Simpsons regler for arealer og sentroider

Hittil i faget har vi regnet på krefter, momenter og tyngdepunkt (G) for figurer vi kunne beskrive med pene formler. Men et ekte skrog er krumt: vannlinjearealet, et tverrsnitt eller undervanns­volumet følger ingen enkel formel du kan integrere i hodet. Likevel trenger du arealet og volumet — for det er derfra deplasement, TPC, FWA og oppdriftssenteret B kommer.

Simpsons regler (Simpson’s Rules) er trikset: mål noen få loddrette avstander (ordinater) jevnt fordelt langs figuren, gang dem med faste tall, summer, og du har et godt anslag på arealet. Reglene antar at kurven mellom ordinatene følger en bestemt matematisk lov (en parabel) — jo tettere ordinater og jo glattere kurve, jo bedre svar.

Første regel antar at kurven er en parabel av andre orden — en kurve med likning y = a₀ + a₁x + a₂x². Du trenger tre ordinater (y₁, y₂, y₃) med lik avstand h. Integrerer du parabelen fra 0 til 2h og finner de konstantene som gjør at Areal = A·y₁ + B·y₂ + C·y₃ stemmer, faller det ut at A = h/3, B = 4h/3 og C = h/3:

Brukt på et halvt vannlinjeareal

Et skip er symmetrisk om senterlinja, så vi måler bare halv-ordinater (half-ordinates / half-breadths) — avstanden fra senterlinja ut til skutesiden ved hver delelinje. Da finner reglene halve vannlinjearealet, og vi ganger med 2 helt til slutt. Avstanden h mellom ordinatene kalles fellesintervallet (common interval, CI).

Andre regel antar at kurven er en parabel av tredje orden: y = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³. Nå trengs fire ordinater med lik avstand. Samme framgangsmåte (integrer fra 0 til 3h, finn koeffisientene) gir A = D = 3h/8 og B = C = 9h/8:

De to første reglene finner arealet under hele rekken av ordinater. Tredje regel er annerledes: den finner arealet mellom to nabo-ordinater når du kjenner tre ordinater på rad. Reglen sier at dette arealet er fem ganger den nærmeste ordinaten, pluss åtte ganger den midterste, minus den ytterste, alt ganget med 1/12 av fellesintervallet:

Trikset for volum er elegant: regn først ut vannlinjearealet ved flere dyptgående (jevnt fordelt mellom kjøl og vannlinje). Bruk så disse arealene som ordinater i Simpsons regel — da gir reglene undervannsvolumet. Du «simpsoniserer» areal for å få areal, og simpsoniserer areal-som-ordinater for å få volum.

Flytesenteret (centre of flotation, F) er tyngdepunktet (sentroiden) til vannlinjearealet — punktet skipet krenger og trimmer om. Det ligger på senterlinja, men kan ligge litt forut eller akter for midtskips. Finnes det på samme måte som ethvert sentroidpunkt: moment av arealet, delt på arealet.

Fra areal til volum: KB

KB er høyden av oppdriftssenteret B over kjølen — det er det tredimensjonale tyngdepunktet til undervannsvolumet. Samme oppskrift, ett hakk opp: regn vannlinjearealene, bruk dem som ordinater for volumet (Σ₁), og bruk areal × arm-over-kjøl som ordinater for momentet om kjølen (Σ₂). Da er:

I praksis passer antallet ordinater ikke alltid en regel. Tre grep løser de fleste tilfellene.

(a) Del figuren i to

Har du seks ordinater (verken oddetall eller delelig på 3 etter −1), del figuren i to: regn den ene delen med én regel og den andre med en annen, og legg arealene sammen. For seks ordinater kan del 1 (fire ordinater) tas med andre regel og del 2 (tre ordinater) med første regel — eller hele med første regel fram til nest siste ordinat og den siste stripa med fem-åtte-regelen.

(b) Appendiks

Skutesiden følger sjelden én kurve hele veien. Typisk er linja fra stevn til «quarter» én kurve, mens resten ut til akter er en annen. Da regner du hoveddelen med Simpsons regel og den gjenstående biten — kalt et appendiks (appendage) — som en egen, andre beregning, og legger arealene/volumene sammen.

(c) Delte fellesintervaller

Mot baug og akter krummer siden raskt, og for nøyaktighet legger man inn mellom-ordinater der — avstanden halveres. Regelen er enkel: halveres CI, halveres multiplikatorene i den delen. En vanlig 1-4-2-4-… blir til ½, 2, 1½, … der intervallet er halvert, slik at de finere stripene veies riktig.

Svar først, sjekk etterpå. Spørsmålene er blandet på tvers av seksjonene med vilje — å kjenne igjen hvilket verktøy en oppgave krever, er halve faget. Vurder hvor sikker du er; der sikkerhet og fasit spriker, finner du de virkelige hullene dine.

Fra «Exercise 10» i boka. Prøv hver oppgave helt ferdig på papir — sett opp tabellen, summer, regn — før du åpner løsningen. Det er der læringen sitter.

Glemselskurven er bratt i starten og flater ut hver gang du repeterer. Å repetere med økende mellomrom — tett først, så glissent — fester stoffet for langt mindre total tid enn å lese om igjen. Det viktigste er at du sprer øktene; det eksakte intervallet er bare en tommelfingerregel. Datoene under regnes fra første gang du åpnet guiden.

Repetisjon	Når	Dato	Hva du gjør

Tips: start hver økt med å sette opp én Simpson-tabell fra hukommelsen (velg regel, fyll SM, summer). Les bare om igjen det du bommer på. Har du eksamen snart, komprimer intervallene heller enn å droppe spredningen helt.

Ordliste

Simpsons regler (Simpson’s Rules)

Metoder for å anslå areal/volum av krumme figurer fra jevnt fordelte ordinater, ved å anta at kurven følger en parabel.

Ordinat / halv-ordinat (ordinate / half-ordinate)

En målt loddrett avstand ved en delelinje; halv-ordinaten er avstanden fra senterlinja ut til skutesiden.

Fellesintervall (common interval, CI)

Den faste avstanden h mellom nabo-ordinater.

Simpsons multiplikatorer (SM)

De faste tallene hver ordinat ganges med: 1-4-1 (første), 1-3-3-1 (andre), 5-8-−1 (tredje).

Første regel

Areal = (h/3)(y₁ + 4y₂ + y₃). Krever oddetall ordinater (partall striper).

Andre regel

Areal = (3h/8)(y₁ + 3y₂ + 3y₃ + y₄). Krever at (antall ordinater − 1) er delelig på 3.

Tredje regel / fem-åtte (five/eight rule)

Areal mellom to nabo-ordinater = (h/12)(5y₁ + 8y₂ − y₃), når tre ordinater er kjent.

Vannlinjeareal (water-plane area, WPA)

Arealet av skipets horisontale snitt i vannlinja. Doble halv-arealet for hele.

TPC (tonnes per centimetre)

Tonn last per cm nedsynkning. I saltvann: TPC = WPA / 97,56.

Deplasement (displacement)

Undervannsvolum × vannets tetthet (×1,025 saltvann, ×1,000 ferskvann).

FWA (fresh water allowance)

Endring i dyptgående mellom salt- og ferskvann: FWA = deplasement / (4 × TPC).

Flytesenter (centre of flotation, F / LCF)

Sentroiden til vannlinjearealet; punktet skipet krenger og trimmer om. X̄ = (Σ₂/Σ₁) × CI.

KB

Høyden av oppdriftssenteret B over kjølen; sentroiden til undervannsvolumet. KB = (Σ₂/Σ₁) × CI med arealer som ordinater.

Appendiks (appendage)

En del av areal/volum som regnes separat fordi siden der følger en annen kurve, og legges til hovedberegningen.

Kilder og videre lesing

• Barrass, C. B. & Derrett, D. R. (2006). Ship Stability for Masters and Mates, 6. utg. (Consolidated 2006). Elsevier Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-7506-6784-5 — Kapittel 10: «Simpson’s Rules for areas and centroids» (s. 69–93). Hovedkilden dette materialet bygger direkte på.
• Samme bok, kap. 1 («Forces and moments», s. 3–10) og kap. 2 («Centroids and the centre of gravity») — moment/sentroid-prinsippet som andre halvdel av dette kapittelet bygger på.
• Samme bok, kapitlene om TPC, FWA og oppdriftssenteret B — der arealene og volumene fra Simpsons regler brukes videre i lasteberegninger.