MFA-2010 · Skipsstabilitet · Del 1 · Kapittel 2

Sentroider og tyngdepunkt

Hver gang du laster, losser, flytter eller henger opp en vekt om bord, flytter du skipets tyngdepunkt G. Får du grep om hvor G havner — og den ene lille formelen GG₁ = (w × d) / W — kan du forutsi om en lasteoperasjon gjør skipet stødigere eller farligere. Det er hele grunnlaget for lasteplanlegging.

⏱ ~35 min lesing
🎯 Nivå: Grunnleggende (dekksoffiser)
🌐 Språk: Norsk (bokmål)
🃏 18 flashkort
✅ 8 quizspørsmål

Når du er ferdig, vil du kunne …

Definere sentroide og tyngdepunkt (G), og forklare hvorfor G for en homogen kropp ligger i det geometriske sentrum.huske/forstå
Forklare hvilken vei G flytter seg når masse legges til, fjernes eller flyttes om bord.forstå
Utlede formelen GG₁ = (w × d) / W fra balansen mellom to vippemomenter.analysere
Beregne skipets nye KG etter lasting, lossing, flytting eller løft med bom.anvende
Anvende regelen om at en opphengt vekt virker i opphengspunktet, på løft med bom og lastebom.anvende
Vurdere om en gitt operasjon hever eller senker G, og dermed bedrer eller svekker stabiliteten.vurdere

Slik får du mest ut av denne guiden (2 min)

Guiden er bygd på det som faktisk får kunnskap til å feste seg:

Prøv før du titter. Hver Sjekk deg selv-boks stiller spørsmålet først. Svar i hodet (eller høyt) før du viser fasiten — selve anstrengelsen ved å hente fram svaret er poenget (aktiv gjenkalling / retrieval practice).
Regn med blyant. Faget sitter i fingrene. Gjør de gjennomarbeidede eksemplene selv, og prøv «Nå prøver du»-oppgavene uten å se på løsningen.
Spre lesingen. Ikke skipp alt på én kveld. Bruk repetisjonsplanen til slutt — korte økter over flere dager slår én lang økt. Det er spredningen som teller, ikke det eksakte intervallet.
Forklar hvorfor. Si med dine egne ord hvorfor G flytter seg den veien den gjør. Føles det vanskelig? Det er ofte et tegn på at du faktisk lærer.

Oversikt og forkunnskaper

I kapittel 1 lærte du om krefter, momenter (kraft × arm) og skillet mellom masse og vekt. Det betalte seg: akkurat de verktøyene bruker du nå. Dette kapittelet handler om ett eneste, avgjørende punkt på skipet — tyngdepunktet G — og om hvordan det beveger seg når du stuer last.

Hvorfor er G så viktig? Fordi skipets vekt virker rett nedover gjennom G. Ligger G lavt, retter skipet seg lett opp etter en krengning; kryper G oppover, blir skipet rankere og til slutt ustøtt. Du styrer G med lasteplanen. Derfor må du kunne regne ut hvor G havner før du laster — ikke etterpå.

Vekten virker ned i G. Avstanden fra kjølen K opp til G heter KG (høyden på tyngdepunktet). Hele kapittelet handler om hvordan KG endrer seg når du laster, losser, flytter eller henger opp vekter.

🔑 Slik henger kapittelet sammen

Fem byggeklosser: (1) hva sentroide og tyngdepunkt er; (2) hva som skjer med G når du fjerner masse; (3) når du legger til masse; (4) når du flytter masse; og (5) den spesielle regelen for opphengte vekter. Alle fem ender i den samme lille formelen: GG₁ = (w × d) / W.

🧠 Sjekk forkunnskapene: Fra kapittel 1 — hva er et moment, og hvilken formel regner du det med?

Sentroide og tyngdepunkt

✓ lært

En sentroide (centroid) er det geometriske sentrum av en flate. Henger du flaten opp i sentroiden, balanserer den. I boka merkes sentroiden med G.

Sentroiden G: i kvadrat/rektangel der diagonalene krysser, i sentrum av en sirkel, og der medianene møtes i en trekant (en tredjedel av høyden opp fra grunnlinja).

Et tyngdepunkt (centre of gravity, G) er det punktet der man kan tenke seg at all massen i kroppen er samlet. Det er punktet der tyngdekraften virker rett nedover, og punktet kroppen ville balansert om.

🔑 Nøkkelpoeng — homogen kropp

For en homogen kropp (samme tetthet overalt) ligger tyngdepunktet i det geometriske sentrum — altså i sentroiden. En jevn, rektangulær trekloss har derfor G halvveis langs lengden, halvveis over bredden og halvveis ned i dybden.

⚠️ Vanlig feil — sentroide ≠ alltid tyngdepunkt

Sentroiden er et rent geometrisk punkt — sentrum av formen. Tyngdepunktet faller bare sammen med sentroiden når massen er jevnt fordelt. Endrer du fordelingen av masse (legger til, fjerner eller flytter), beveger tyngdepunktet seg bort fra det geometriske sentrum. Resten av kapittelet handler om akkurat dét.

🧠 Sjekk deg selv: Hvor ligger tyngdepunktet til en jevn, homogen trekloss formet som en rettvinklet kasse?

Fjerne eller losse masse

✓ lært

Tenk deg en jevn planke som balanserer på en kile satt under midten, der tyngdepunktet ligger. Kapper du nå av en kort bit i den ene enden, blir den andre enden tyngst — planken tipper, og tyngdepunktet flytter seg bort fra biten du fjernet.

Fjerner du en bit med masse w en avstand d fra G, flytter tyngdepunktet seg fra G til G₁ — bort fra den fjernede massen. Den nye massen er W − w.

Utledning av formelen

Det er to måter å se på samme effekt, og momentene må stemme overens:

Å fjerne biten w en avstand d fra G lager et moment w × d (som vipper planken bort fra biten).
Den nye massen (W − w) som nå har tyngdepunkt i G₁, lager et moment (W − w) × GG₁ om det gamle punktet G.

Disse to er to uttrykk for samme dreieeffekt, så de er like store:

(W − w) × GG₁ = w × d

Løs ut GG₁, og du har formelen for hvor langt tyngdepunktet flytter seg:

GG₁ = (w × d) / (W − w)

Nevneren W − w er den nye (gjenværende) massen. Generelt skriver vi nevneren som «final mass» (sluttmassen) — for et skip blir det skipets nye deplasement etter lossing.

🔑 Nøkkelpoeng — retning

Når masse fjernes, flytter tyngdepunktet seg rett bort fra tyngdepunktet til massen som ble fjernet. Avstanden er GG₁ = (w × d) / sluttmasse.

📝 Gjennomarbeidet eksempel — losse en vekt

Q. Et skip har deplasement W = 5000 t. En vekt på w = 200 t losses; tyngdepunktet til vekten lå d = 10 m fra skipets G. Hvor langt flytter skipets tyngdepunkt seg?

Løsning. Sluttmasse = 5000 − 200 = 4800 t.

GG₁ = (200 × 10) / 4800 = 2000 / 4800 = 0,417 m

Svar: G flytter seg 0,417 m, rett bort fra der vekten lå.

📝 Nå prøver du — losse fra et skip (faded)

Q. Et skip har deplasement W = 3000 t. Du losser w = 150 t hvis tyngdepunkt lå d = 8 m fra skipets G. Hvor langt, og hvilken vei, flytter G seg?

Hint: sluttmasse er W − w. Sett inn i GG₁ = (w × d) / sluttmasse.

🧠 Sjekk deg selv: En vekt losses fra dypt nede i lasterommet, godt under skipets G. Hvilken vei flytter skipets G seg, og hva betyr det for stabiliteten?

Legge til eller laste masse

✓ lært

Speilbildet av forrige seksjon. Legger du en bit w på planken en avstand d fra G, blir den enden tyngst — og tyngdepunktet flytter seg mot massen du la til.

Legger du til masse w en avstand d fra G, flytter tyngdepunktet seg mot den nye massen. Den nye massen er W + w.

Utledningen er den samme som før — to vippemomenter som må balansere:

(W + w) × GG₁ = w × d

GG₁ = (w × d) / (W + w)

Nevneren W + w er igjen sluttmassen (final mass) — for et skip det nye deplasementet etter lasting (final displacement).

🔑 Nøkkelpoeng — to halvdeler av én regel

Masse fjernet → G flytter seg bort fra massen. Masse lagt til → G flytter seg mot massen. I begge tilfeller: GG₁ = (w × d) / sluttmasse. Eneste forskjell er fortegnet i nevneren (W − w mot W + w) og hvilken vei G går.

📝 Gjennomarbeidet eksempel — laste en vekt

Q. Et skip med deplasement W = 3500 t laster w = 500 t hvis tyngdepunkt ligger d = 8 m fra skipets G. Hvor langt flytter G seg?

Løsning. Sluttmasse = 3500 + 500 = 4000 t.

GG₁ = (500 × 8) / 4000 = 4000 / 4000 = 1,0 m

Svar: G flytter seg 1,0 m, rett mot den nye vekten.

🪄 Analogi

Tenk på en gruppe venner som står på en flåte. Kommer det én til om bord på styrbord side, sklir tyngdepunktet for hele gjengen litt mot den nye personen. Jo tyngre personen er (stor w), og jo lenger ute han stiller seg (stor d), jo mer flytter punktet seg — akkurat som GG₁ = (w × d) / sluttmasse.

📝 Nå prøver du — laste lavt (faded)

Q. Et skip har W = 2000 t og KG = 5,0 m. Du laster w = 100 t med tyngdepunkt 2,0 m over kjølen — altså under skipets G. Finn den nye KG.

Hint: d = avstanden fra skipets G ned til vekten = 5,0 − 2,0. G flytter seg mot vekten (nedover), så trekk GG₁ fra KG.

🧠 Sjekk deg selv: I formelen GG₁ = (w × d) / sluttmasse — hva er «sluttmassen» henholdsvis ved lasting og ved lossing?

Flytte vekter om bord

✓ lært

Å flytte en vekt om bord er det samme som å losse den fra ett sted og laste den et annet. Nettoeffekten er enkel og elegant:

🔑 Nøkkelpoeng — parallell forskyvning

Når en vekt flyttes om bord, flytter skipets tyngdepunkt seg parallelt med vektens egen forskyvning (fra g₁ til g₂) og i samme retning. Lengden er:

GG₂ = (w × d) / W

Her er w massen som flyttes, d avstanden den flyttes, og W skipets deplasement (det endrer seg ikke — du tar jo ikke noe av eller på).

Vekten flyttes fra g₁ til g₂. Skipets G flytter seg fra G til G₂ parallelt med g₁g₂ og samme vei — men en kortere strekning, fordi hele skipets deplasement W er mye større enn w.

📝 Gjennomarbeidet eksempel — flytte last

Q. Et skip med deplasement W = 6000 t flytter en vekt w = 120 t en avstand d = 15 m tvers over dekket. Hvor langt flytter skipets G seg, og hvilken vei?

Løsning.

GG₂ = (w × d) / W = (120 × 15) / 6000 = 1800 / 6000 = 0,30 m

Svar: G flytter seg 0,30 m, parallelt med flyttingen og samme vei (her: tvers, mot den siden vekten ble flyttet til).

⚠️ Vanlig feil — feil nevner

Ved flytting er nevneren skipets fulle deplasement W — ikke W + w eller W − w. Massen om bord er uendret; du har verken lastet eller losset. Bytter du nevner her, blir hele svaret feil.

🧠 Forklar hvorfor: Hvorfor flytter skipets G seg en kortere strekning enn selve vekten gjør?

Opphengte vekter (bom og lastebom)

✓ lært

Her kommer kapittelets mest kontraintuitive — og mest praktiske — regel. Tyngdepunktet er det punktet tyngdekraften virker rett nedover gjennom. Når en vekt henger fra toppen av en bom (derrick), virker tyngdekraften gjennom opphengspunktet — ikke gjennom selve vekten.

🔑 Nøkkelpoeng — opphengt vekt virker i opphengspunktet

Tyngdepunktet til en opphengt vekt regnes å ligge i opphengspunktet (bomhodet, the point of suspension). Det gjelder enten skipet ligger rett eller krenger, og uansett hvor langt under opphengspunktet vekten faktisk henger.

Så snart vekten er klar av dekket, «flytter» dens virksomme tyngdepunkt seg opp til bomhodet g₁. Det spiller ingen rolle om vekten henger 0,6 m eller 6 m under bomhodet — virkningen er den samme.

Konsekvensen er stor for stabiliteten: i det øyeblikket en tung last løftes klar av dekket med skipets egen bom, hopper dens virksomme tyngdepunkt helt opp til bomhodet. Det hever skipets G brått — og kan svekke stabiliteten mer enn folk venter.

📝 Gjennomarbeidet eksempel — løfte med bom

Q. Et skip har W = 5000 t og KG = 6,0 m. En tung last på w = 50 t ligger i lasterommet med tyngdepunkt 3,0 m over kjølen. Den løftes klar av dekket med en bom hvis hode er 18 m over kjølen. Finn skipets nye KG i løftet.

Løsning. Når lasten henger fritt, virker den i bomhodet, 18 m over kjølen. Den virksomme flyttingen er oppover: d = 18 − 3,0 = 15 m. Deplasementet er uendret (lasten er fortsatt om bord), så nevneren er W:

GG₁ = (w × d) / W = (50 × 15) / 5000 = 750 / 5000 = 0,15 m (opp)

ny KG = 6,0 + 0,15 = 6,15 m

Svar: KG stiger til 6,15 m straks lasten er klar av dekket. Høyere G → svekket stabilitet i løftet.

📝 Nå prøver du — løfte med bom (faded)

Q. Et skip har W = 8000 t og KG = 7,0 m. En last på w = 60 t ligger med tyngdepunkt 4,0 m over kjølen og løftes klar av dekket med en bom hvis hode er 18 m over kjølen. Finn den nye KG.

Hint: opphengt vekt virker i bomhodet. d = 18 − 4,0. Deplasementet endres ikke, så nevner = W.

🧠 Sjekk deg selv: En last løftes med bom og henges 0,6 m under bomhodet. En annen gang henges samme last 6,0 m under bomhodet. Hvor virker tyngdepunktet i hvert tilfelle?

🃏

Flashkort — aktiv gjenkalling

Klikk på et kort for å snu det. Vurder ærlig: Igjen hvis du slet, Bra/Lett hvis det satt. Vurderingene lagres på denne enheten og omorganiserer bunken slik at de svake kortene kommer igjen tidligere (et Leitner-system). Prøv å svare høyt før du snur.

Spørsmål

Svar

✅

Selvtest

Svar først, sjekk etterpå. Spørsmålene er blandet på tvers av seksjonene med vilje — å kjenne igjen hvilket verktøy en oppgave krever, er halve faget. Vurder hvor sikker du er; der sikkerhet og fasit spriker, finner du de virkelige hullene dine.

1. Du losser en vekt fra babord side av lasterommet. Hvilken vei flytter skipets tyngdepunkt G seg?

Mot babord — i samme retning som vekten lå Mot styrbord — bort fra der vekten lå Rett oppover, uansett hvor vekten lå G flytter seg ikke når man losser

Hvor sikker er du: lav middels høy

2. Et skip har W = 4000 t og KG = 6,0 m. Du laster 500 t med tyngdepunkt 9,0 m over kjølen. Finn den nye KG.

3. En last løftes med skipets bom og henger 5 m under bomhodet. Hvor regnes lastens tyngdepunkt å virke?

Midt mellom lasten og bomhodet I lasten selv, der den faktisk henger I opphengspunktet — bomhodet 5 meter under bomhodet, men bare når skipet ligger rett

Hvor sikker er du: lav middels høy

4. Et skip med deplasement 2000 t flytter en vekt på 50 t en avstand 12 m tvers over dekket. Hvor langt flytter G seg, og hvilken nevner bruker du?

5. Når faller en kropps tyngdepunkt sammen med dens sentroide (geometriske sentrum)?

Alltid — sentroide og tyngdepunkt er det samme Bare når kroppen er en sirkel eller et rektangel Bare når kroppen er opphengt Når kroppen er homogen (massen er jevnt fordelt)

Hvor sikker er du: lav middels høy

6. Et skip har deplasement 8000 t. Du losser 300 t hvis tyngdepunkt lå 4 m fra skipets G. Hvor langt flytter G seg?

7. Et skip har W = 10 000 t og KG = 7,5 m. En last på 40 t ligger med tyngdepunkt 2,5 m over kjølen og løftes klar av dekket med en bom hvis hode er 22,5 m over kjølen. Finn den nye KG.

8. Forklar med egne ord hvorfor det å løfte en tung last klar av dekket med skipets egen bom kan gjøre skipet mindre stabilt — selv om du verken har lastet eller losset noe.

➕

Flere øvingsoppgaver (valgfritt)

Fra «Exercise 2» i boka. Prøv hver oppgave helt ferdig på papir før du åpner løsningen — det er der læringen sitter. Alle svar er regnet etter GG₁ = (w × d) / sluttmasse (eller / W ved flytting).

Ø1. Et skip har deplasement 2400 t og KG = 10,8 m. En vekt på 50 t som allerede er om bord, heises 12 m rett opp. Finn ny KG.

Ø2. Et skip har deplasement 2000 t og KG = 10,5 m. En vekt på 40 t som er om bord, flyttes fra mellomdekket ned i lasterommet, 4,5 m rett ned. Finn ny KG.

Ø3. Et skip på 2000 t deplasement har KG = 4,5 m. En vekt på 20 t i lasterommet har KG = 2 m. Den heises 0,5 m klar av tanktoppen med en bom hvis hode er 14 m over kjølen. Finn ny KG.

Ø4. Et skip har deplasement 7000 t og KG = 6 m. En tungløft på 40 t i lasterommet har KG = 3 m. Den heises 1,5 m klar og henger i en bom hvis hode er 17 m over kjølen. Finn ny KG.

Ø5. Finn forskyvningen av tyngdepunktet til et skip på 1500 t deplasement når en vekt på 25 t flyttes fra styrbord side i lasterommet til babord side på dekk, en avstand 15 m.

📅

Repetisjonsplan (spredt repetisjon)

Glemselskurven er bratt i starten og flater ut hver gang du repeterer. Å repetere med økende mellomrom — tett først, så glissent — fester stoffet for langt mindre total tid enn å lese om igjen. Det viktigste er at du sprer øktene; det eksakte intervallet er bare en tommelfingerregel. Datoene under regnes fra første gang du åpnet guiden.

Repetisjon	Når	Dato	Hva du gjør

Tips: start hver økt med å ta selvtesten fra hukommelsen. Les bare om igjen det du bommer på. Har du eksamen snart, komprimer intervallene heller enn å droppe spredningen helt.

📌

Sammendrag og ordliste

🔑 Hovedpoeng — på én pust

En sentroide er en flates geometriske sentrum; for en homogen kropp ligger tyngdepunktet G der. Endrer du massefordelingen, flytter G seg: bort fra masse du fjerner, mot masse du legger til, og parallelt med en vekt du flytter. Alt regnes med GG₁ = (w × d) / sluttmasse — der sluttmassen er W − w ved lossing, W + w ved lasting og rett og slett W ved flytting. En opphengt vekt virker i opphengspunktet, så å løfte last med bom hever G og svekker stabiliteten.

Ordliste

Sentroide (centroid): Det geometriske sentrum av en flate; punktet flaten ville balansert om. Merkes G.
Tyngdepunkt (centre of gravity, G): Punktet der all massen kan tenkes samlet, og der tyngdekraften virker rett nedover.
Homogen kropp: Kropp med jevn massefordeling (samme tetthet overalt); da ligger G i det geometriske sentrum.
KG: Høyden på skipets tyngdepunkt over kjølen K (vertikal avstand fra K til G).
Deplasement (displacement, W): Skipets totale masse (= massen av vannet det fortrenger). Sluttdeplasement er W etter en operasjon.
GG₁ / GG₂: Forskyvningen av skipets tyngdepunkt fra G til ny posisjon G₁ (eller G₂).
w: Massen som legges til, fjernes eller flyttes.
d: Avstanden mellom tyngdepunktene (lasting/lossing), eller avstanden vekten flyttes.
Sluttmasse (final mass / displacement): Massen om bord etter operasjonen: W + w (lasting), W − w (lossing), W (flytting). Nevneren i formelen.
Opphengspunkt (point of suspension): Punktet en vekt henger fra (f.eks. bomhodet); en opphengt vekts tyngdepunkt regnes å ligge her.
Bom (derrick): Skipets eget løfteredskap. Når last løftes klar av dekket, virker dens tyngdepunkt i bomhodet.

Kilder og videre lesing

Barrass, C. B. & Derrett, D. R. (2006). Ship Stability for Masters and Mates, 6. utg. (Consolidated 2006). Elsevier Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-7506-6784-5 — Kapittel 2: «Centroids and the centre of gravity» (s. 11–20). Hovedkilden dette materialet bygger direkte på, inkludert Exercise 2.
Samme bok, Kapittel 1 («Forces and moments», s. 3–10) — krefter, momenter og skillet masse/vekt som dette kapittelet bygger videre på.
Samme bok, Del 1 videre (kap. 6 «Final KG», kap. 13–15 om GM, krengningsmoment og statisk stabilitet) — der KG fra dette kapittelet brukes til å regne faktisk stabilitet.
Bureau International des Poids et Mesures (BIPM): The International System of Units (SI) — for de offisielle definisjonene av kilogram og avledede enheter. https://www.bipm.org/en/publications/si-brochure

Du er ved veis ende 🎉

Lukk guiden og prøv å gjenkalle de seks læringsmålene fra hukommelsen. Tegn gjerne en planke og vis hvilken vei G går når du fjerner og legger til en bit. Regn ett bom-løft uten å se. Kom tilbake etter repetisjonsplanen.