MFA-2010 · Skipsstabilitet · Kapittel 21
Beregning av frie væskeoverflater (FSE)
En halvfull tank stjeler stabilitet. I kapittel 7 så du hvorfor;
her lærer du å regne ut hvor mye. Med én formel —
FSE = i·ρ/W · 1/n² — finner du det virtuelle tapet i
metasenterhøyde (GM), forstår hvorfor lange skott hjelper, og kan avgjøre
om en slakk tank gjør skipet ustabilt.
Når du er ferdig, vil du kunne …
- Definere fri væskeoverflate-effekt (FSE) som et virtuelt tap i GM, og forklare hva «virtuelt» betyr her.huske/forstå
- Beregne det andre arealmomentet
i = l·b³/12for en rektangulær fri overflate.anvende - Anvende formelen
FSE = i·ρvæske/W · 1/n²til å finne virtuelt GM-tap.anvende - Utlede hvorfor langskips inndeling i n rom reduserer FSE med faktoren
1/n².analysere - Skille det virkelige hevet av G (fra utpumpet last) fra det virtuelle GM-tapet (fra fri overflate).analysere
- Vurdere om en slakk tank tar GM under null (ustabilt skip) eller under regelkravet.vurdere
Slik får du mest ut av denne guiden (2 min)
Guiden er bygd på det som faktisk får kunnskap til å feste seg:
- Prøv før du titter. Hver Sjekk deg selv-boks stiller spørsmålet først. Svar i hodet (eller høyt) før du viser fasiten — selve anstrengelsen ved å hente fram svaret er poenget (aktiv gjenkalling / retrieval practice).
- Regn med blyant. Dette kapittelet er rein regning. Gjør de gjennomarbeidede eksemplene selv, tall for tall, og prøv «Nå prøver du»-oppgavene uten å se på løsningen.
- Spre lesingen. Ikke skipp alt på én kveld. Bruk repetisjonsplanen til slutt — korte økter over flere dager slår én lang økt. Det er spredningen som teller, ikke det eksakte intervallet.
- Forklar hvorfor. Si med dine egne ord hvorfor
1/n²dukker opp, eller hvorfor langsgående skott hjelper men tverrskott ikke. Føles det vanskelig? Det er ofte et tegn på at du faktisk lærer.
00
Oversikt og forkunnskaper
Dette er det kvantitative følgekapitlet til kapittel 7. Der lærte du i ord at en delvis fylt tank svekker stabiliteten fordi væsken kan renne mot den lave siden når skipet krenger. Her gjør vi det om til tall.
Når en tank er delvis fylt (slakk), lider skipet et virtuelt tap i metasenterhøyde (metacentric height, GM). «Virtuelt» betyr at tyngdepunktet G ikke flytter seg fysisk oppover av at væsken renner — men virkningen på det rettende momentet er nøyaktig den samme som om G hadde steget. Vi regner derfor som om GM ble mindre.
Fire byggeklosser: (1) selve hovedformelen FSE = i·ρ/W · 1/n² og hva hvert symbol betyr; (2) det andre arealmomentet i = l·b³/12 som driver det hele; (3) hvorfor langsgående inndeling i n rom gir faktoren 1/n² (og hvorfor tverrskott ikke hjelper); (4) å holde to ulike bevegelser av G fra hverandre — det virkelige hevet fra utpumpet last og det virtuelle tapet fra fri overflate.
🧠 Sjekk forkunnskapene (fra kap. 7): Hva er metasenterhøyden GM, og hvorfor er et større GM forbundet med et større rettende moment?
GM er den loddrette avstanden fra tyngdepunktet G opp til metasenteret M (GM = KM − KG). Det rettende momentet ved en liten krengevinkel θ er W × GM × sin θ, så jo større GM, jo kraftigere retter skipet seg opp. Når en fri overflate «spiser» av GM, svekker den nettopp dette rettende momentet — uten at noen masse faktisk er flyttet oppover.
01
Hovedformelen for FSE
✓ lært
Hele kapittelet hviler på én ligning. Lær den utenat, og lær hva hvert symbol er:
i = det andre arealmomentet (second moment) av den frie overflaten om senterlinja, i m⁴.
W = skipets deplasement (displacement), i tonn.
ρ = tettheten til væsken i tanken (density), i tonn/m³.
n = antall langsgående rom tanken er delt likt opp i.
i × ρ = fri-overflate-momentet (free surface moment, FSM), i tonn·m.
Legg merke til strukturen: et moment (i·ρ, fra overflatens form) delt på
deplasementet W. Akkurat som GG₁ = w·d/W for et flyttet vektmoment,
er FSE et moment delt på W. Det er fri-overflate-momentet per tonn deplasement.
Hvor formelen kommer fra (kortversjon)
Krenger skipet en liten vinkel θ, renner en kile av væske fra høysiden til lavsiden. Kilens tyngdepunkt flytter seg fra g til g₁, og det flytter skipets G til G₁. Med v = kilens volum og ρ₁, ρ₂ = tettheten i henholdsvis tanken og sjøen som skipet flyter i:
Det virtuelle GM-tapet er GGᵥ = GG₁ / θ. Bruker du resultatet
BM = I/V (altså I·θ = v·gg₁) fra metasenter-teorien, faller
θ ut, og du sitter igjen med:
Siden deplasementet er W = V × ρ₂, blir V × ρ₂ = W, og for
en udelt tank (n = 1) gir det GGᵥ = (i × ρ₁)/W — nøyaktig hovedformelen.
Det er tettheten til væsken i tanken (ρ₁) som hører hjemme i FSE-formelen — ikke sjøvannets. Olje (ρ ≈ 0,82) gir mindre fri-overflate-tap enn sjøvann (ρ = 1,025) i en tank med samme mål. Sjøvannets ρ₂ dukker bare opp via deplasementet W = V·ρ₂ og forsvinner inn i W.
FSE avhenger av overflatens form (gjennom i), ikke av hvor mye væske som ligger der. En tank som er nesten tom og en som er nesten full, gir samme fri-overflate-tap så lenge overflaten har samme lengde og bredde. Det er den frie overflaten, ikke vekta, som teller.
🧠 Sjekk deg selv: I formelen FSE = i·ρ/W · 1/n² — hvilken tetthet er ρ, og hva skjer med FSE om du fyller tanken fra halvfull til nesten full (uten å endre overflatens lengde og bredde)?
ρ er tettheten til væsken i tanken. FSE endrer seg ikke — den avhenger bare av overflatens form (via i = l·b³/12), deplasementet W og inndelingen n, ikke av væskemengden. Så lenge overflaten er like lang og bred, er fri-overflate-tapet det samme.
02
Det andre arealmomentet i
✓ lært
iMotoren i FSE-formelen er i — det andre arealmomentet (second moment of area) til den frie overflaten om senterlinja. For et rektangulært overflateareal er det:
L = lengden på den frie overflaten (langskips, fore–akter).
B = den totale bredden på den frie overflaten (tverrskips), uten å ta hensyn til inndeling.
Legg merke til at bredden er opphøyd i tredje — det er derfor bredden er så altavgjørende.
Fordi B er i tredje potens, slår bredden langt kraftigere inn enn lengden. Dobler du bredden, åttedobles i (2³ = 8). Halverer du bredden, blir i bare en åttedel. Dette er nøkkelen til hvorfor langsgående skott (som deler bredden) er så effektive — mer om det i neste seksjon.
Q. Et skip på 6000 tonn deplasement flyter i sjøvann og har en dobbeltbunntank på 20 m × 12 m × 2 m, delt ved senterlinja (n = 2) og delvis fylt med olje med relativ tetthet 0,82. Finn det virtuelle GM-tapet.
Løsning. Sett inn i formelen med i = l·b³/12 (b er full bredde, 12 m):
Regn stegvis: 12³ = 1728; 20 × 1728 = 34 560; ÷ 12 = 2880.
Så 2880 × 0,820 = 2361,6; ÷ 6000 = 0,3936; ÷ 4 = 0,0984.
Svar: det virtuelle GM-tapet er 0,098 m. Legg merke til at oljens lave tetthet (0,82) og inndelingen i to (1/4) begge demper tapet.
🧠 Sjekk deg selv: En rektangulær slakk tank har fri overflate 16 m lang og 10 m bred (udelt). Hva er det andre arealmomentet i?
i = L·B³/12 = 16 × 10³ / 12 = 16 × 1000 / 12 = 16 000 / 12 ≈ 1333,3 m⁴. (Husk: bredden B i tredje potens.)
Q. En rektangulær fri overflate er 20 m lang og 8 m bred (udelt). Finn i. Hva blir i dersom et langsgående skott midt i halverer bredden til to felt på 4 m hver (regn da i for ett felt og gang med 2)?
Hint: i = L·B³/12 for hele overflaten; for ett felt bruk B/2 = 4 m, så multipliser med 2 felt.
Udelt: i = 20 × 8³/12 = 20 × 512/12 = 10 240/12 ≈ 853,3 m⁴.
Med ett langsgående skott (to felt à 4 m): per felt 20 × 4³/12 = 20 × 64/12 ≈ 106,7 m⁴; to felt → 2 × 106,7 = 213,3 m⁴.
Det er nøyaktig 1/4 av 853,3 — altså 1/n² med n = 2. Bredden i tredje gjør utslaget.
03
Inndeling: hvorfor 1/n²
✓ lært
1/n²Deler du tanken langskips i n like brede rom med langsgående
skott, blir hvert rom bare b/n bredt. Det andre arealmomentet for
ett rom blir da:
Men du har n slike rom, så samlet i = n × i_rom:
Bredden går i tredje potens (faktor 1/n³ per rom), men du har n rom (faktor n). Netto: n × 1/n³ = 1/n². Når en tank deles langskips i n like rom, faller fri-overflate-tapet til 1/n² av det udelte tilfellet.
1/4² = 1/16 av en udelt tank.Bare langsgående (langskips) skott reduserer fri-overflate-effekten. Tverrskott (tverrskips) gir ingen reduksjon: de korter inn lengden L på hvert rom, men L er bare i første potens — to halvlange rom gir nøyaktig samme samlede i som ett langt. Det er bredden som må kappes, og det er det langsgående skott gjør.
Q. Et skip på 3000 tonn har en rektangulær dobbeltbunntank 15 m × 8 m. GMT uten fri overflate er 0,18 m, og ρ = 1,025. Finn virtuelt tap og endelig GMT for (a) ingen skott, (b) ett tverrskott midt på, (c) ett langsgående skott, (d) to langsgående skott (tre like felt).
(a) Ingen skott (n = 1):
8³ = 512; 15 × 512 = 7680; × 1,025 = 7872; ÷ 36 000 = 0,2187.
Endelig GMT = 0,18 − 0,2187 = −0,0387 m → ustabilt skip!
(b) Ett tverrskott (to felt à L = 7,5 m, full b = 8 m):
Samme svar som (a) — tverrskott reduserer ikke fri overflate. Fortsatt ustabilt.
(c) Ett langsgående skott (n = 2, to felt à b = 4 m):
4³ = 64; 15 × 64 = 960; × 2 = 1920; × 1,025 = 1968; ÷ 36 000 = 0,0547 m (= 1/4 av (a)).
Endelig GMT = 0,18 − 0,0547 = +0,1253 m → stabilt (men under DfT-minstekravet på 0,15 m).
(d) To langsgående skott (n = 3, tre felt à b = 8/3 m):
(8/3)³ = 512/27 ≈ 18,963; 15 × 18,963 ≈ 284,44; × 3 ≈ 853,33; × 1,025 ≈ 874,67; ÷ 36 000 = 0,0243 m (= 1/9 av (a)).
Endelig GMT = 0,18 − 0,0243 = +0,1557 m → stabilt og over minstekravet.
🧠 Sjekk deg selv: En udelt slakk tank gir et fri-overflate-tap på 0,36 m. Du setter inn to langsgående skott (tre like felt). Hva blir tapet nå — og hvorfor hjelper ikke et tverrskott?
Med n = 3 faller tapet til 1/n² = 1/9: 0,36 / 9 = 0,04 m. Et tverrskott hjelper ikke fordi det bare deler lengden L (første potens) — to halvlange rom gir samme samlede i som ett langt. Bare bredden (tredje potens) gir gevinst, og den kappes av langsgående skott.
04
Virkelig heving av G vs. virtuelt tap
✓ lært
Når du pumper ballast ut av en full tank til den blir slakk, skjer to ting med tyngdepunktet G — og det er lett å blande dem sammen:
- Den utpumpede vekten ligger lavt i skipet, så når den fjernes, stiger G
virkelig (fysisk) oppover:
GG₁ = w·d/W₂. - Samtidig oppstår en fri overflate i tanken, som gir et virtuelt tap i GM
(G hever seg ikke fysisk, men virkningen er som om):
FSE = i·ρ/W₂ · 1/n².
Begge senker GM, men de er fysisk forskjellige. Den virkelige hevingen kommer av at masse er flyttet/fjernet; det virtuelle tapet av at en overflate er fri. Du må trekke begge fra det «faste» GM (GMsolid) for å få det riktige GM (GMfluid). Bruk alltid det nye deplasementet W₂ i begge ledd.
Q. Et skip på 8153,75 tonn har KM = 8 m, KG = 7,5 m og en dobbeltbunntank 15 m × 10 m × 2 m full av sjøvann. Finn nytt GM når tanken pumpes ned til halvfull.
1) Utpumpet masse:
2) Virkelig heving av G (utpumpet vann lå d = 6 m under G):
3) Virtuelt tap (FSE) — udelt tank, n = 1, full bredde 10 m:
10³ = 1000; 15 × 1000 = 15 000; × 1,025 = 15 375; ÷ 96 000 = 0,160 m ↑.
4) Sett sammen:
Svar: nytt GM = 0,225 m. Begge bevegelsene av G regnet med.
Pumper du ut én side av en langsgående delt tank, flyttes G også sidelengs (horisontalt) fordi vekt fjernes asymmetrisk. Da får du slagside (list): tan θ = horisontal forskyvning av G / GᵥM. Eks. 3 i boka gir slik en liste på 3°04′. Det er den samme momentlogikken — bare i tverrskips retning.
Eks. Du pumper sjøvannsballast ut av en dobbeltbunntank til den blir halvtom. Før du regner: hever G seg, eller senkes det? Blir skipet mer eller mindre stabilt?
Svar. G hever seg to ganger: virkelig (fjernet lavtliggende vekt) og virtuelt (fri overflate). Begge senker GM, så skipet blir mindre stabilt. I noen tilfeller kan de to hevingene til sammen ta G over M — da er skipet blitt ustabilt. Det er nettopp derfor slakke tanker er farlige, og hvorfor du tømmer eller fyller dem helt («presser opp») når du kan.
🧠 Sjekk deg selv: Hva er forskjellen på den «virkelige» hevingen av G og det «virtuelle» tapet i GM når en tank pumpes halvtom?
Den virkelige hevingen (GG₁ = w·d/W₂) er at G faktisk flytter seg oppover fordi lavtliggende masse er fjernet. Det virtuelle tapet (FSE = i·ρ/W₂·1/n²) er at G ikke flytter seg fysisk, men den frie overflaten svekker det rettende momentet som om G hadde steget. Begge trekkes fra GMsolid for å få GMfluid.
🃏
Flashkort — aktiv gjenkalling
Klikk på et kort for å snu det. Vurder ærlig: Igjen hvis du slet, Bra/Lett hvis det satt. Vurderingene lagres på denne enheten og omorganiserer bunken slik at de svake kortene kommer igjen tidligere (et Leitner-system). Prøv å svare høyt før du snur.
✅
Selvtest
Svar først, sjekk etterpå. Spørsmålene er blandet på tvers av seksjonene med vilje — å kjenne igjen hvilket verktøy en oppgave krever, er halve faget. Vurder hvor sikker du er; der sikkerhet og fasit spriker, finner du de virkelige hullene dine.
FSE = i·ρ/W · 1/n² — hvilken tetthet er ρ?W = V·ρ_sjø og forsvinner inn i W.i = L·B³/12 = 20 × 10³/12 = 20 × 1000/12 = 20 000/12 ≈ 1666,7 m⁴.
Med n = 2 faller tapet til 1/n² = 1/4: 0,144/4 = 0,036 m.
i = l·b³/12 (overflatens form), W og n — ikke av hvor mye væske som ligger der. Bare en helt full eller helt tom tank har ingen fri overflate.FSE = l·b³·ρ/(12·W) = 18 × 12³ × 1,025/(12 × 6000).
12³ = 1728; 18 × 1728 = 31 104; × 1,025 = 31 881,6; ÷ 72 000 ≈ 0,443 m. Virtuelt tap ≈ 0,443 m.
(1) En virkelig heving fordi lavtliggende masse er fjernet (GG₁ = w·d/W₂). (2) Et virtuelt tap i GM fra den frie overflaten (FSE = i·ρ/W₂·1/n²), der G ikke flytter seg fysisk, men det rettende momentet svekkes som om. Begge senker GM.
En fri overflate gir et virtuelt GM-tap som ikke avhenger av væskemengden. Er tapet større enn GM-reserven, blir GMfluid negativt — da ligger det virtuelle Gᵥ over M, og en liten krengning gir et veltende i stedet for et rettende moment (samme logikk som negativt GM i kap. 7). Fyller du tanken helt («presser opp») eller tømmer den helt, finnes det ingen fri overflate, og tapet forsvinner — derfor er det rådet.
➕
Flere øvingsoppgaver (valgfritt)
Fra «Exercise 21» i boka. Prøv hver oppgave helt ferdig på papir før du åpner løsningen — det er der læringen sitter.
Bruk oljens tetthet (ρ = 0,84) i FSE-formelen; havnevannets tetthet ligger i W.
FSE = l·b³/12 × ρ_olje/W × 1/n² = (25 × 15³)/12 × 0,84/10 000 × 1/2².
15³ = 3375; 25 × 3375 = 84 375; ÷ 12 = 7031,25; × 0,84 = 5906,25; ÷ 10 000 = 0,5906; ÷ 4 = 0,148 m.
Virtuelt tap ≈ 0,148 m.
Utpumpet masse: w = 16 × 16 × 0,5 × 1,025 = 131,2 tonn; W₂ = 8000 − 131,2 = 7868,8 tonn.
Virkelig heving (utpumpet topphalvdel har tp 0,75 m, G ligger 3,75 m → d = 3,0 m): GG₁ = 131,2 × 3,0/7868,8 = 393,6/7868,8 ≈ 0,050 m ↑.
Virtuelt tap (n = 2, full b = 16 m): FSE = 16 × 16³ × 1,025/(12 × 7868,8) × 1/4 = 16 × 4096 = 65 536; × 1,025 = 67 174,4; ÷ (12 × 7868,8 = 94 425,6) = 0,7114; ÷ 4 = 0,178 m ↑.
Gammelt GM = 5,5 − 3,75 = 1,750; − 0,050 = 1,700 (GMsolid); − 0,178 = 1,522 m ≈ nytt GM. (Tallet avhenger litt av antatt d for den utpumpede vannmassen.)
Her tar vi B = bredden tverrskips = 10 m (det boka oppgir som «bredde»; lengden 15 m er langskips).
FSE = L·B³·ρ_olje/(12·W) = 15 × 10³ × 0,92/(12 × 6000).
10³ = 1000; 15 × 1000 = 15 000; × 0,92 = 13 800; ÷ 72 000 ≈ 0,192 m. Virtuelt tap ≈ 0,192 m.
Merk: boka oppgir tankmålene som «10 m × 15 m × 6 m» uten å si hvilket tall som er bredde tverrskips. Velger du i stedet B = 15 m, blir tapet 10 × 15³ × 0,92/72 000 ≈ 0,431 m. Sjekk alltid hvilken dimensjon som er tverrskips — den skal i tredje potens.
📅
Repetisjonsplan (spredt repetisjon)
Glemselskurven er bratt i starten og flater ut hver gang du repeterer. Å repetere med økende mellomrom — tett først, så glissent — fester stoffet for langt mindre total tid enn å lese om igjen. Det viktigste er at du sprer øktene; det eksakte intervallet er bare en tommelfingerregel. Datoene under regnes fra første gang du åpnet guiden.
| Repetisjon | Når | Dato | Hva du gjør |
|---|
Tips: start hver økt med å regne ett FSE-eksempel fra hukommelsen — hele veien fra i = l·b³/12 til endelig GM. Les bare om igjen det du bommer på. Har du eksamen snart, komprimer intervallene heller enn å droppe spredningen helt.
📌
Sammendrag og ordliste
En slakk tank gir et virtuelt tap i GM: FSE = i·ρ/W · 1/n², der i = l·b³/12 er det andre arealmomentet til den frie overflaten, ρ er væsken i tanken, W deplasementet og n antall langsgående rom. Bredden b er i tredje potens, så langsgående skott kapper tapet til 1/n² mens tverrskott gir null gevinst. Mengden væske spiller ingen rolle — bare overflatens form. Pumpes en full tank halvtom, hever G seg virkelig (w·d/W₂) og GM faller virtuelt (FSE); trekk begge fra GMsolid. Tar tapet GM under null, er skipet ustabilt.
Ordliste
- Fri væskeoverflate (free surface)
- Den eksponerte overflaten til væske i en delvis fylt (slakk) tank, fri til å bevege seg når skipet krenger.
- Fri-overflate-effekt (free surface effect, FSE)
- Det virtuelle tapet i metasenterhøyde forårsaket av en fri overflate:
i·ρ/W · 1/n². - Virtuelt tap i GM (virtual loss)
- Tilsynelatende reduksjon i GM; G flytter seg ikke fysisk, men det rettende momentet svekkes som om G hadde steget til Gᵥ.
- Andre arealmoment (second moment of area, i)
- Mål på den frie overflatens form om senterlinja; for et rektangel
i = L·B³/12(m⁴). - Fri-overflate-moment (free surface moment, FSM)
- Produktet
i × ρ(tonn·m); FSE er dette momentet delt på deplasementet. - Slakk tank (slack tank)
- En delvis fylt tank med fri overflate — verken helt full eller helt tom.
- Deplasement (displacement, W)
- Skipets totale vekt =
V × ρ_sjø, i tonn; står i nevneren i FSE-formelen. - Langsgående skott (longitudinal bulkhead)
- Skott i langskips retning som deler tankens bredde; reduserer FSE med
1/n². - Tverrskott (transverse bulkhead)
- Skott i tverrskips retning; reduserer ikke fri-overflate-effekten.
- GMsolid / GMfluid
- GM uten / med fri-overflate-tap trukket fra. GMfluid = GMsolid − FSE.
Kilder og videre lesing
- Barrass, C. B. & Derrett, D. R. (2006). Ship Stability for Masters and Mates, 6. utg. (Consolidated 2006). Elsevier Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-7506-6784-5 — Kapittel 21: «Calculating the effect of free surface of liquids (FSE)» (s. 202–212 i bokas paginering). Hovedkilden dette materialet bygger direkte på, inkludert eksempel 1–3 og «Exercise 21».
- Samme bok, Kapittel 7 («Effect of slack tanks on stability» / fri overflate, kvalitativt) — forutgående kapittel som dette tallfester. Les de to sammen.
- Samme bok, kapitlene om metasenter og BM = I/V (utledningen
GGᵥ = i·ρ₁/(V·ρ₂)bygger påBM = I/V). - IMO: International Code on Intact Stability, 2008 (2008 IS Code) — for de internasjonale stabilitetskravene og behandling av fri-overflate-korreksjoner i lasteberegninger. https://www.imo.org
Du er ved veis ende 🎉
Lukk guiden og gjenkall de seks læringsmålene fra hukommelsen. Regn gjerne ett FSE-eksempel uten å se — fra i = l·b³/12 via 1/n² til endelig GM. Kom tilbake etter repetisjonsplanen.