MFA-2010 · Skipsstabilitet · Kapittel 23

Dynamisk stabilitet

Statisk stabilitet forteller deg hvor hardt et skip vil rette seg opp ved én bestemt krengevinkel. Dynamisk stabilitet svarer på et annet spørsmål: hvor mye arbeid skal til for å krenge henne dit — altså hvor mye energi en plutselig vindkast eller bølge må pumpe inn før skipet ligger på den vinkelen. Det er arealet under GZ-kurven, ganget med deplasementet, og du regner det ut med Simpsons regler.

⏱ ~30 min lesing
🎯 Nivå: Viderekommen (dekksoffiser)
🌐 Språk: Norsk (bokmål)
🃏 16 flashkort
✅ 8 quizspørsmål

Når du er ferdig, vil du kunne …

Definere dynamisk stabilitet som arbeidet som gjøres når et skip krenges til en vinkel.huske/forstå
Forklare hvorfor dynamisk stabilitet er lik deplasement × areal under GZ-kurven.forstå
Skille dynamisk stabilitet fra statisk stabilitet (energi vs. øyeblikks-rettemoment).forstå/analysere
Beregne arealet under GZ-kurven med Simpsons regler, med fellesintervallet uttrykt i radianer.anvende
Anvende Moseleys formel og enheten metre-radianer til å finne dynamisk stabilitet i tonnmeter.anvende
Utlede hovedtrinnene i at strimmelen GZ × dθ summerer seg til arealet under kurven.analysere

Slik får du mest ut av denne guiden (2 min)

Guiden er bygd på det som faktisk får kunnskap til å feste seg:

Prøv før du titter. Hver Sjekk deg selv-boks stiller spørsmålet først. Svar i hodet (eller høyt) før du viser fasiten — selve anstrengelsen ved å hente fram svaret er poenget (aktiv gjenkalling / retrieval practice).
Regn med blyant. Faget sitter i fingrene. Gjør de gjennomarbeidede eksemplene selv, og prøv «Nå prøver du»-oppgavene uten å se på løsningen.
Spre lesingen. Ikke skipp alt på én kveld. Bruk repetisjonsplanen til slutt — korte økter over flere dager slår én lang økt. Det er spredningen som teller, ikke det eksakte intervallet.
Forklar hvorfor. Si med dine egne ord hvorfor et svar er riktig. Føles det vanskelig? Det er ofte et tegn på at du faktisk lærer.

Oversikt og forkunnskaper

Dette kapittelet bygger rett oppå statisk stabilitet. Husker du fra kapittel 15 (og krengningskapitlene 16–17) at rettearmen GZ (righting lever) er den vinkelrette avstanden mellom oppdriftskraften og tyngdekraften når skipet er krenget? Plotter du GZ mot krengevinkelen, får du GZ-kurven (curve of statical stability). Den forteller deg hvor stor rettemomentets arm er ved hver enkelt vinkel — et øyeblikksbilde.

Men et skip krenger ikke gratis. Vinden eller bølgen må gjøre arbeid for å presse henne over. Dynamisk stabilitet (dynamical stability) er nettopp dette arbeidet — den samlede energien som skal til for å krenge skipet til en gitt vinkel. Og fordi arbeid = kraft × vei, viser det seg at denne energien er rett og slett arealet under GZ-kurven opp til vinkelen, ganget med skipets vekt.

GZ-kurven gir rettearmen ved hver vinkel (statisk stabilitet). Arealet under kurven opp til vinkelen θ, ganget med deplasementet W, er den dynamiske stabiliteten — energien som krevdes for å komme dit.

🔑 Slik henger kapittelet sammen

Fire byggeklosser: (1) hva dynamisk stabilitet er (arbeid ved krengning), (2) at arbeidet = W × loddrett avstand mellom B og G, som leder til (3) at det er lik W × areal under GZ-kurven (Moseleys formel), og (4) hvordan du faktisk regner ut arealet med Simpsons regler og riktige enheter. Du trekker veksler på GZ-kurven fra kap. 15 og på Simpsons regler fra kap. 10.

🧠 Sjekk forkunnskapene: Hva forteller rettearmen GZ deg, og hvilke to krefter er det den ligger «mellom»?

Hva er dynamisk stabilitet?

✓ lært

Dynamisk stabilitet (dynamical stability) er definert som arbeidet som gjøres når et skip krenges til en gitt vinkel. Mens statisk stabilitet er et øyeblikksmål (hvor stort rettemomentet er akkurat ved denne vinkelen), er dynamisk stabilitet et energimål — den samlede jobben som må gjøres mot rettemomentet hele veien fra opprett til vinkelen θ.

🔑 Nøkkelpoeng — arbeid = vekt × loddrett separasjon

Når skipet ligger opprett, virker oppdriften opp gjennom B og vekten ned gjennom G, begge like store: b = w = W. Disse to kreftene virker gjennom hele krengningen. Arbeidet de samlet gjør, er:

Arbeid = Vekt × loddrett separasjon av G og B

Tenk på det slik: G beveger seg ikke (skipet dreier om sitt eget tyngdepunkt), men oppdriftssenteret B vandrer ut til siden og oppover idet skroget krenger. Den loddrette hevingen av B i forhold til G er det som koster energi — og akkurat den loddrette separasjonen, ganget med vekten, er den dynamiske stabiliteten.

Når skipet krenger, vandrer B ut til B₁. Den loddrette avstanden mellom G og virkelinjen gjennom B₁ — ganget med vekten W — er det arbeidet som er gjort: den dynamiske stabiliteten.

⚠️ Vanlig feil — bland ikke statisk og dynamisk

Statisk stabilitet (GZ, rettemoment) er kraft × arm ved én vinkel — måles i tonnmeter som et moment. Dynamisk stabilitet er arbeid/energi samlet opp over alle vinklene fra 0 til θ — også uttrykt i tonnmeter, men nå som energi (egentlig t·m som arbeid). Samme enhetsnavn, helt ulik størrelse. Den ene er et punkt på kurven, den andre er arealet under den.

🧠 Sjekk deg selv: Forklar med egne ord forskjellen mellom statisk og dynamisk stabilitet.

Moseleys formel

✓ lært

Boka utvikler den loddrette separasjonen geometrisk og kommer fram til et eksakt uttrykk. Med betegnelsene fra figuren (der v er volumet av en innkilt eller utløpt kile, V skipets totale volumdeplasement, og g, h, g₁, h₁ tyngdepunkter og armer for kilene) blir den loddrette separasjonen av G og B:

Dynamisk stabilitet = W × [ v(gh + g₁h₁)/V + BG·cos θ − BG ]

Som så kan ryddes til den formen som bærer navnet til ingeniøren Henry Moseley:

🔑 Moseleys formel for dynamisk stabilitet

Dynamisk stabilitet = W × [ v(gh + g₁h₁)/V − BG·(1 − cos θ) ]

Dette er det analytiske uttrykket. Det er nyttig for å forstå hvor energien kommer fra (kileforskyvningen og hevingen av tyngdepunktet), men i praksis regner vi sjelden direkte på det.

Hvorfor ikke? Fordi det fins en mye enklere vei så snart du allerede har tegnet GZ-kurven. Boka slår det fast rett etterpå:

🔑 Den praktiske formen

Dynamisk stabilitet = W × areal under GZ-kurven

Har du GZ-kurven (statisk stabilitet) for skipet, finner du dynamisk stabilitet til en hvilken som helst krengevinkel ved å måle arealet under kurven opp til den vinkelen og gange med deplasementet W. Dette er metoden du skal bruke i alle oppgavene.

🪄 Analogi

Tenk på GZ-kurven som en bakke du dytter en vogn opp. Brattheten akkurat der du står (GZ ved én vinkel) er den statiske stabiliteten — hvor hardt bakken dytter deg tilbake. Men hele jobben med å få vogna opp til et bestemt punkt er arealet under bakkeprofilen — det er den dynamiske stabiliteten. To ulike spørsmål om samme bakke.

🧠 Sjekk deg selv: Du har allerede GZ-kurven for et skip. Hvordan finner du den dynamiske stabiliteten til 40° krengning — uten å røre Moseleys analytiske uttrykk?

Hvorfor arealet under kurven? (utledning)

✓ lært

Det er verdt å se hvorfor arbeidet er lik arealet under GZ-kurven — da sitter formelen, og du blir ikke kastet av en omformulering på eksamen.

Tenk deg skipet allerede krenget til vinkelen θ. La det krenge en bitte liten ekstra vinkel dθ. Oppdriftssenteret flytter seg da fra B₁ til B₂, parallelt med den (nye) vannlinjen.

(b) Et lite sprang dθ flytter B₁ til B₂; den nye rettearmen GZ₁ er også den loddrette separasjonen av B og G. (c) På GZ-kurven er den lille biten dynamisk stabilitet W × (GZ × dθ) — arealet av en smal strimmel med bredde dθ og høyde GZ.

Den nye rettearmen GZ₁ er den loddrette separasjonen av B og G ved denne vinkelen. Den lille ekstra dynamiske stabiliteten fra θ til (θ + dθ) er derfor:

d(dyn. stab.) = W × (GZ × dθ)

Ser du på stabilitetskurven, er GZ høyden ved vinkelen θ, og dθ er en smal bredde. Produktet GZ × dθ er nettopp arealet av en tynn strimmel under kurven. Summerer (integrerer) du alle strimlene fra 0 til θ:

Dynamisk stabilitet = ∫₀^θ W × GZ dθ = W ∫₀^θ GZ dθ

🔑 Konklusjon

Siden ∫₀^θ GZ dθ nettopp er arealet under GZ-kurven, faller alt sammen til den praktiske formelen: dynamisk stabilitet = deplasement × areal under stabilitetskurven. Utledningen er bare en formell måte å si: «legg sammen alle de små arbeidsbidragene W·GZ·dθ».

🧠 Sjekk deg selv: Hva representerer arealet av én smal strimmel under GZ-kurven, fysisk sett?

Arealet med Simpsons regler — og enhetene

✓ lært

Nå til regnehåndverket. Arealet under GZ-kurven finner du med Simpsons regler (samme verktøy som i kapittel 10): du tar GZ-verdiene ved jevne vinkelintervaller som ordinater, ganger med Simpson-multiplikatorene (1, 4, 2, 4, … , 1), summerer, og ganger med ⅓ × fellesintervallet.

⚠️ Kritisk — fellesintervallet må være i radianer

Når du finner arealet under stabilitetskurven med Simpsons regler, må fellesintervallet uttrykkes i radianer, ikke grader. Ellers blir arealet (og dermed energien) feil med en faktor 57,3. Omregningen:

57,3° = 1 radian → 1° = 1/57,3 radianer → x° = x/57,3 radianer

Altså: del antall grader på 57,3 for å få radianer. Et 10°-intervall blir 10/57,3 radianer.

🔑 Enheten: metre-radianer → tonnmeter

Arealet under kurven har enheten meter × radianer (GZ i meter, dθ i radianer) — kalt metre-radianer. Ganger du med deplasementet (i tonn), får du:

tonn × metre-radianer = tonnmeter (t·m)

(Radian er en dimensjonsløs vinkel, så den «forsvinner» i navnet.) Den dynamiske stabiliteten oppgis altså i tonnmeter — her som arbeid/energi, ikke som moment.

Gjennomarbeidet eksempel 1 — fra GZ-tabell

📝 Gjennomarbeidet eksempel — 5000 t skip

Q. Et skip på 5000 tonn deplasement har følgende rettearmer. Beregn den dynamiske stabiliteten til 40° krengning.

Krengevinkel	10°	20°	30°	40°
GZ (m)	0,21	0,33	0,40	0,43

Løsning. Vi trenger en ordinat ved 0° også — ved opprett skip er GZ = 0. Sett opp Simpson-tabellen med fem ordinater (0°, 10°, 20°, 30°, 40°) og multiplikatorene 1, 4, 2, 4, 1:

GZ	SM	Areal-funksjon
0	1	0
0,21	4	0,84
0,33	2	0,66
0,40	4	1,60
0,43	1	0,43
Σ₁ =		3,53

Fellesintervallet er 10°, altså CI = 10/57,3 radianer. Arealet:

Areal = ⅓ × CI × Σ₁ = ⅓ × (10/57,3) × 3,53 = 0,2053 metre-radianer

Til slutt ganger vi med deplasementet:

Dyn. stab. = W × areal = 5000 × 0,2053 = 1026,5 t·m

Svar: dynamisk stabilitet til 40° = 1026,5 tonnmeter.

De fem ordinatene (0; 0,21; 0,33; 0,40; 0,43 m) ved 0–40°. Simpsons regel veier dem 1·4·2·4·1 og gir arealet — som ×5000 t blir 1026,5 t·m.

Gjennomarbeidet eksempel 2 — boksformet fartøy

📝 Gjennomarbeidet eksempel — boks 45 × 10 × 6 m

Q. Et boksformet fartøy 45 m × 10 m × 6 m flyter i saltvann på 4 m dypgang, jevnkjølt. GM = 0,6 m. Beregn den dynamiske stabiliteten til 20° krengning.

Grunntall. For en boks er BM = B²/(12d):

BM = 10² / (12 × 4) = 100 / 48 = 2,08 m

Deplasement = lengde × bredde × dypgang × tetthet:

W = 45 × 10 × 4 × 1,025 = 1845 tonn

⚠️ Merk — liten vs. stor vinkel

Ved 10° kan vi regne som liten vinkel: GZ = GM·sin θ. Men 20° er en stor krengevinkel, så vi må bruke veggsideformelen (wall-sided formula) for å finne GZ.

GZ ved 10° (liten vinkel):

GZ = GM·sin θ = 0,6 × sin 10° = 0,104 m

GZ ved 20° (veggsideformel, GZ = (GM + ½·BM·tan²θ)·sin θ):

GZ = (0,6 + ½ × 2,08 × tan²20°) × sin 20° = (0,6 + 0,138) × sin 20° = 0,738 × sin 20° = 0,252 m

Simpson-tabell med tre ordinater (0°, 10°, 20°), multiplikatorer 1, 4, 1:

GZ	SM	Areal-funksjon
0	1	0
0,104	4	0,416
0,252	1	0,252
Σ₁ =		0,668

Areal = ⅓ × (10/57,3) × 0,668 = 0,0389 metre-radianer

Dyn. stab. = W × areal = 1845 × 0,0389 = 71,77 t·m

Svar: dynamisk stabilitet til 20° = 71,77 tonnmeter.

🧠 Sjekk deg selv: Hvorfor må fellesintervallet i Simpson-regningen være i radianer, og hva blir 1° i radianer?

📝 Nå prøver du — 8000 t skip (faded)

Q. Et skip på 8000 tonn har rettearmer GZ = 0,20 / 0,30 / 0,32 / 0,24 m ved 15° / 30° / 45° / 60°. Beregn den dynamiske stabiliteten til 60° krengning.

Hint: legg til ordinaten GZ = 0 ved 0°. Det gir fem ordinater med 15°-intervall (0, 15, 30, 45, 60) — SM 1, 4, 2, 4, 1. Husk CI = 15/57,3 rad.

🃏

Flashkort — aktiv gjenkalling

Klikk på et kort for å snu det. Vurder ærlig: Igjen hvis du slet, Bra/Lett hvis det satt. Vurderingene lagres på denne enheten og omorganiserer bunken slik at de svake kortene kommer igjen tidligere (et Leitner-system). Prøv å svare høyt før du snur.

Spørsmål

Svar

✅

Selvtest

Svar først, sjekk etterpå. Spørsmålene er blandet på tvers av seksjonene med vilje — å kjenne igjen hvilket verktøy en oppgave krever, er halve faget. Vurder hvor sikker du er; der sikkerhet og fasit spriker, finner du de virkelige hullene dine.

1. Hva er dynamisk stabilitet definert som?

Rettemomentet (W × GZ) ved en gitt krengevinkel Arbeidet som gjøres når skipet krenges til en gitt vinkel Den største GZ-verdien på stabilitetskurven Krengevinkelen der GZ blir null igjen

Hvor sikker er du: lav middels høy

2. Skriv den praktiske formelen for dynamisk stabilitet når du allerede har GZ-kurven, og forklar hvert ledd.

3. Du regner arealet under GZ-kurven med Simpsons regler og 10°-intervall. Hva må du gjøre med fellesintervallet?

Bruke 10 direkte — grader er greit her Gange med 57,3 for å gjøre om til radianer Dele på 57,3 for å få det i radianer (10/57,3) Gjøre det om til nautiske mil

Hvor sikker er du: lav middels høy

Riktig: del på 57,3. 57,3° = 1 radian, så 10° = 10/57,3 rad. Glemmer du dette, blir arealet 57,3 ganger for stort.

4. Et skip på 5000 t har GZ = 0; 0,21; 0,33; 0,40; 0,43 m ved 0–40° (10°-steg). Sett opp Simpson-summen Σ₁ og finn arealet under kurven.

5. Arealet under GZ-kurven har enheten metre-radianer. Hvilken enhet får den dynamiske stabiliteten etter at du ganger med deplasementet?

Tonnmeter (t·m) Newton (N) Meter (m) Radianer

Hvor sikker er du: lav middels høy

Riktig: tonnmeter. tonn × metre-radianer = tonnmeter (radianen er dimensjonsløs og forsvinner i navnet). Her er t·m en energi/arbeids-enhet.

6. I utledningen krenges skipet et lite ekstra sprang dθ ved vinkelen θ. Hvor stor er den lille ekstra dynamiske stabiliteten, og hva svarer dette til på GZ-kurven?

7. For et boksformet fartøy med GM = 0,6 m og BM = 2,08 m: hvorfor kan du bruke GZ = GM·sin θ ved 10°, men ikke ved 20°? Hva bruker du ved 20°?

8. To skip har nøyaktig samme maksimale GZ, men skip A sin GZ-kurve er mye «fyldigere» (større areal) enn skip B sin. Hvilket skip har størst dynamisk stabilitet, og hvorfor betyr det noe i praksis?

➕

Flere øvingsoppgaver (valgfritt)

Fra «Exercise 23» i boka. Prøv hver oppgave helt ferdig på papir før du åpner løsningen — det er der læringen sitter. Husk: legg alltid til GZ = 0 ved 0°, og hold fellesintervallet i radianer.

Ø1 (oppg. 1). Et skip på 10 000 t har rettearmer GZ = 0,09 / 0,21 / 0,30 / 0,33 m ved 10° / 20° / 30° / 40°. Beregn dynamisk stabilitet til 40°.

Ø2 (oppg. 3). Et skip på 10 000 t har GZ = 0,0 / 0,02 / 0,12 / 0,21 / 0,30 / 0,33 m ved 0° / 10° / 20° / 30° / 40° / 50°. Beregn dynamisk stabilitet til 50°.

Ø3 (oppg. 5). Et boksformet fartøy 65 m × 10 m × 6 m flyter jevnkjølt på 4 m dypgang i saltvann. GM = 0,6 m. Beregn dynamisk stabilitet til 20°.

📅

Repetisjonsplan (spredt repetisjon)

Glemselskurven er bratt i starten og flater ut hver gang du repeterer. Å repetere med økende mellomrom — tett først, så glissent — fester stoffet for langt mindre total tid enn å lese om igjen. Det viktigste er at du sprer øktene; det eksakte intervallet er bare en tommelfingerregel. Datoene under regnes fra første gang du åpnet guiden.

Repetisjon	Når	Dato	Hva du gjør

Tips: start hver økt med å ta selvtesten fra hukommelsen. Les bare om igjen det du bommer på. Har du eksamen snart, komprimer intervallene heller enn å droppe spredningen helt.

📌

Sammendrag og ordliste

🔑 Hovedpoeng — på én pust

Dynamisk stabilitet er arbeidet som gjøres når et skip krenges til en vinkel = W × loddrett separasjon av G og B. Geometrisk gir det Moseleys formel, men i praksis er det rett og slett W × areal under GZ-kurven (siden hver strimmel W·GZ·dθ er litt arbeid). Arealet finner du med Simpsons regler — men fellesintervallet må være i radianer (x° = x/57,3 rad). Arealet er i metre-radianer; ganget med deplasementet (tonn) gir det dynamisk stabilitet i tonnmeter. Ved store krengevinkler regnes GZ med veggsideformelen (kap. 15).

Ordliste

Dynamisk stabilitet (dynamical stability): Arbeidet som gjøres når et skip krenges til en gitt vinkel; = deplasement × areal under GZ-kurven. Oppgis i tonnmeter (t·m).
Statisk stabilitet (statical stability): Rettemomentet ved én bestemt krengevinkel, W × GZ; et punkt på GZ-kurven.
Rettearm (righting lever, GZ): Den vinkelrette avstanden mellom oppdriftens og tyngdens virkelinjer ved krengning; loddrett separasjon av B og G.
GZ-kurve (curve of statical stability): GZ plottet mot krengevinkel. Arealet under den (× W) er dynamisk stabilitet.
Moseleys formel (Moseley's formula): Analytisk uttrykk: Dyn. stab. = W × [v(gh + g₁h₁)/V − BG(1 − cos θ)].
Metre-radianer (metre-radians): Enheten for arealet under GZ-kurven (GZ i meter × vinkel i radianer). × tonn → tonnmeter.
Radian: Vinkelenhet der 57,3° = 1 rad. Omregning: x° = x/57,3 radianer.
Simpsons regler (Simpson's Rules): Numerisk metode for areal under en kurve fra ordinater ved jevne intervaller (kap. 10).
Veggsideformelen (wall-sided formula): GZ = (GM + ½·BM·tan²θ)·sin θ — for GZ ved store krengevinkler.
Deplasement (displacement, W): Skipets vekt, lik vekten av fortrengt vann; her i tonn.

Kilder og videre lesing

Barrass, C. B. & Derrett, D. R. (2006). Ship Stability for Masters and Mates, 6. utg. (Consolidated 2006). Elsevier Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-7506-6784-5 — Kapittel 23: «Dynamical stability» (s. 227–232 i boka; Moseleys formel, eksempel 1–2 og Exercise 23). Hovedkilden dette materialet bygger direkte på.
Samme bok — Kapittel 10 («Simpson's Rules for areas and centroids») for arealmetoden, og kapittel 15–17 (statisk stabilitet, GZ-kurven, krengning og veggsideformelen) som dette kapittelet bygger videre på.
IMO (2008): International Code on Intact Stability (2008 IS Code), res. MSC.267(85) — der kriterier for areal under GZ-kurven (f.eks. til 30° og 40°) er gjort til internasjonalt regelverk for intaktstabilitet. Referanse for hvorfor arealet/dynamisk stabilitet er praktisk viktig.

Du er ved veis ende 🎉

Lukk guiden og prøv å gjenkalle de seks læringsmålene fra hukommelsen. Skissér en GZ-kurve, skraver arealet til en vinkel, og regn ett dynamisk-stabilitet-eksempel uten å se. Kom tilbake etter repetisjonsplanen.