MFA-2010 · Skipsstabilitet · Kapittel 44

Slagside ved null metasenterhøyde

Den vanlige formelen for slagside, tan(slagside) = GG_H/GM fra kapittel 14, kollapser i samme øyeblikk metasenterhøyden (GM) blir null — du deler på null. Men skipet får jo en slagside likevel når du flytter en vekt på tvers. Dette kapittelet viser deg den ene formelen som fortsatt holder: wall-sided-relasjonen, der slagsiden bestemmes av BM og krengemomentet i stedet for av GM.

⏱ ~25 min lesing
🎯 Nivå: Viderekommen (dekksoffiser)
🌐 Språk: Norsk (bokmål)
🃏 16 flashkort
✅ 8 quizspørsmål

Når du er ferdig, vil du kunne …

Forklare hvorfor tan(slagside) = GG_H/GM bryter sammen når GM = 0.forstå
Utlede wall-sided-relasjonen for slagside ved GM = 0 fra momentbalansen.analysere
Beregne slagsiden med kubikkformelen tan θ = ∛(2·w·d / (BM·W)).anvende
Skille null-GM-slagside fra ordinær slagside (kap. 14) og fra loll (kap. 31).analysere
Anvende metoden på fullstendige oppgaver, inkludert å finne BM fra KM−KB eller fra I/V.anvende

Slik får du mest ut av denne guiden (2 min)

Guiden er bygd på det som faktisk får kunnskap til å feste seg:

Prøv før du titter. Hver Sjekk deg selv-boks stiller spørsmålet først. Svar i hodet (eller høyt) før du viser fasiten — selve anstrengelsen ved å hente fram svaret er poenget (aktiv gjenkalling / retrieval practice).
Regn med blyant. Faget sitter i fingrene. Gjør de gjennomarbeidede eksemplene selv, og prøv «Nå prøver du»-oppgavene uten å se på løsningen. Tredjerot regner du lettest som x^(1/3) på kalkulatoren.
Spre lesingen. Ikke skipp alt på én kveld. Bruk repetisjonsplanen til slutt — korte økter over flere dager slår én lang økt. Det er spredningen som teller, ikke det eksakte intervallet.
Forklar hvorfor. Si med dine egne ord hvorfor GM = 0 tvinger oss bort fra den vanlige formelen. Føles det vanskelig? Det er ofte et tegn på at du faktisk lærer.

Oversikt og forkunnskaper

Dette kapittelet ligger i et veikryss du allerede har vært innom fra to kanter. Du kjenner slagside (list) fra kapittel 14: flytter du en vekt på tvers, glir tyngdepunktet sidelengs til G₁, og skipet krenger til det rettende momentet akkurat balanserer krengemomentet. Og du kjenner loll-vinkelen fra kapittel 31: er GM negativ, er skipet ustødig i utgangsstillingen og legger seg til ro med en liten slagside selv uten ytre last.

Midt imellom disse to ligger grensetilfellet vi tar nå: GM nøyaktig lik null. Skipet er verken stivt eller ustødig i utgangsstillingen — det er nøytralt. Legger du på et tverrskips krengemoment, får skipet en slagside, men den vanlige formelen bryter sammen.

Tre nabotilfeller langs GM-aksen. Kapittel 14 håndterer GM > 0, kapittel 31 håndterer GM < 0 (loll). Her står vi i grensepunktet GM = 0.

🔑 Slik henger kapittelet sammen

Tre byggeklosser: (1) hvorfor den vanlige slagsideformelen deler på null ved GM = 0, (2) wall-sided-relasjonen GZ = (GM + ½·BM·tan²θ)·sin θ som fortsatt gjelder, og (3) kubikkformelen tan θ = ∛(2·w·d / (BM·W)) du faktisk regner med. Resten er øving på å finne BM riktig.

🧠 Sjekk forkunnskapene: Fra kapittel 14 — hva er formelen for slagside når en vekt w flyttes en tverrskips avstand d på et skip med deplasement W og positiv GM?

Når slagsideformelen deler på null

✓ lært

Den vanlige slagsideregningen fra kapittel 14 bygger på en liten-vinkel-antakelse: ved små krengevinkler ligger metasenteret M tilnærmet fast, og det rettende armen vokser lineært. Da gjelder:

tan(slagside) = GG_H / GM , der GG_H = (w × d) / W

Se på nevneren. Når GM krymper mot null, vokser tan(slagside) mot uendelig — formelen «sier» at skipet skulle legge seg helt over. Det er selvfølgelig feil; det er et tegn på at antakelsen bak formelen ikke lenger holder, ikke at virkeligheten oppfører seg sånn.

⚠️ Vanlig feil — å bruke GG_H/GM «nesten på» null

Når GM = 0 er GG_H / GM rett og slett udefinert (deling på null). Setter du inn en bitteliten GM for å «redde» formelen, får du en absurd stor slagside. Ved og rundt GM = 0 må du bytte verktøy — ikke fikse på det gamle.

Hvorfor svikter liten-vinkel-bildet akkurat her? Fordi når den lineære oppreisende stivheten er borte (GM = 0), er det krumningen i oppdriftsgeometrien — bidraget fra BM ved større vinkler — som tar over og bestemmer hvor skipet kommer til ro. Det fanger ikke GG_H/GM opp, men wall-sided-formelen i neste seksjon gjør det.

Jo mindre GM, desto større slagside ifølge den lineære formelen — og ved GM = 0 sprenger den helt. Det er modellen, ikke skipet, som feiler. Vi trenger en annen formel.

🧠 Sjekk deg selv: Hva skjer matematisk med tan(slagside) = GG_H/GM når GM → 0, og hva forteller det oss om modellen?

Wall-sided-formelen ved GM = 0

✓ lært

Vi ser på skipet i figur 44.1 i boka, som har null metasenterhøyde i utgangsstillingen. Når en vekt med masse w flyttes en tverrskips avstand d, glir skipets tyngdepunkt fra G til G₁; retningen GG₁ er parallell med vektens forflytning. Skipet krenger til G₁ og oppdriftssenteret B₁ ligger på samme loddlinje.

Etter figur 44.1: vekten w er flyttet avstanden d på tvers. Tyngdepunktet flytter seg fra G til G₁, og skipet krenger til vinkelen θ slik at G₁ og B₁ ligger på samme loddlinje. GZ er ikke en oppreisende arm her, men en geometrisk lengde vi kan regne på.

Momentbalansen

Den vannrette komponenten av forskyvningen av skipets tyngdepunkt er lik GZ, og den vannrette komponenten av selve vektforflytningen er d · cos θ. Setter vi disse momentene like (om K), får vi bokas utgangslikning:

w × d × cos θ = W × GZ

Lengden GZ er ikke et rettende arm i dette tilfellet, men den kan likevel finnes med wall-sided-formelen (gyldig for et skip med tilnærmet loddrette sider i vannlinjeområdet):

GZ = (GM + ½ × BM × tan²θ) × sin θ

Setter vi dette inn:

w × d × cos θ = W × sin θ × (GM + ½ × BM × tan²θ)

🔑 Nøkkelsteget — sett GM = 0

Når GM = 0 faller det første leddet bort, og likningen blir ren:

w × d × cos θ = W × sin θ × (½ × BM × tan²θ)

Nå rydder vi. Del på cos θ (husk sin θ / cos θ = tan θ):

(w × d) / W = tan θ × ½ × BM × tan²θ = ½ × BM × tan³θ

Løs for tan³θ, og til slutt for tan θ:

tan³θ = (2 × w × d) / (BM × W)

tan θ = ∛( (2 × w × d) / (BM × W) )

🔑 Hovedformelen for dette kapittelet

Slagside ved GM = 0 når en vekt w flyttes en tverrskips avstand d:

tan θ = ∛( 2 × w × d / (BM × W) )

Legg merke til at GM er borte og BM har tatt dens plass i nevneren — og at vi tar tredjeroten, ikke deler rett ut. Det er den matematiske signaturen på dette tilfellet.

🪄 Analogi

Tenk på en ball som ligger i bunnen av en helt flat skål (GM = 0): dytter du den, triller den ikke tilbake av seg selv slik den ville i en buet skål (GM > 0). Den blir liggende der den havner, og hvor den havner, bestemmes av kantens krumning lenger ute — ikke av bunnens helning. BM spiller rollen til den ytre krumningen.

🧠 Forklar hvorfor: Hvilket ledd i wall-sided-formelen forsvinner når GM = 0, og hvorfor ender vi da opp med en tredjerot?

Regne ut slagsiden i praksis

✓ lært

Formelen er kort, men du må mate den med riktig BM. To måter dukker opp i oppgavene:

Fra hydrostatikk: BM = KM − KB (kapittel 12). Får du oppgitt KM og KB, er dette ett trekk.
Fra geometri: BM = I / V, der I er andre arealmoment av vannlinjeflaten om senterlinja (kapittel 11) og V er det neddykkede volumet. Husk V = W / ρ (deplasement delt på vanntetthet).

📝 Gjennomarbeidet eksempel — bokas eksempel

Q. Et skip med deplasement 12 250 tonn har KM = 8 m, KB = 3,8 m og KG = 8 m, og flyter rett (upright). Finn slagsiden hvis en vekt på 2 tonn, allerede om bord, flyttes en tverrskips avstand på 12 m. Anta at skipet er wall-sided.

Løsning — steg 1: finn BM og bekreft GM = 0.

KM = 8,0 m KB = 3,8 m BM = KM − KB = 4,2 m

Og GM = KM − KG = 8 − 8 = 0. Skipet har altså null metasenterhøyde, så vi må bruke kubikkformelen.

Steg 2: sett inn i formelen. Her er w = 2, d = 12, BM = 4,2 og W = 12 250:

tan(slagside) = ∛( 2 × 2 × 12 / (12 250 × 4,2) )

= ∛( 48 / 51 450 ) = ∛( 0,000933 ) = 0,0977

Steg 3: gjør om til vinkel. slagside = arctan(0,0977):

slagside ≈ 5° 34′

Svar: skipet får en slagside på ≈ 5° 34′. (En liten vekt og null GM gir altså bare noen få grader — fordi tredjeroten demper kraftig.)

Hele regnekjeden i tre trinn: finn BM (og bekreft GM = 0), sett inn i kubikkformelen, gjør om til grader.

⚠️ Vanlig feil — å glemme 2-tallet eller ta feil rot

To snublesteiner: (1) Tallet 2 i telleren kommer fra ½-faktoren i wall-sided-formelen — dropper du det, blir svaret feil. (2) Det er en tredjerot (x^(1/3)), ikke en kvadratrot. På kalkulator: regn først ut brøken inne i roten, så ^(1/3), så arctan.

📝 Nå prøver du — vekt på 20 tonn (faded)

Q. Et skip med deplasement 8000 tonn har null metasenterhøyde og BM = 4 m. Finn slagsiden hvis en vekt på 20 tonn flyttes tverrskips en avstand på 10 m.

Hint: GM er allerede 0, så du trenger ikke KM/KB — sett rett inn i kubikkformelen.

🧠 Sjekk deg selv: Du får oppgitt deplasement W, vanntetthet ρ og andre arealmoment I av vannlinjeflaten, men ikke BM direkte. Hvordan finner du BM?

Slagside, loll og null-GM — hold dem fra hverandre

✓ lært

Tre nær beslektede situasjoner blandes lett. De skiller seg på fortegnet til GM og på om det finnes et ytre krengemoment. Lær deg å lese hvilket tilfelle en oppgave er — det avgjør hvilken formel du henter fram.

De tre tilfellene side om side. Fortegnet til GM og spørsmålet «er det et ytre krengemoment?» peker deg til riktig rad — og riktig formel.

🔑 Nøkkelpoeng — loll vs. null-GM

Ved loll (kap. 31) er det den negative GM-en alene som velter skipet litt over, helt uten ytre last — formelen tan θ = √(−2·GM/BM) er kvadratroten av et uttrykk som krever GM < 0. Ved null-GM-slagside (her) er det den flyttede vekten som tvinger fram krengningen; uten den ville skipet bli liggende rett. Begge bruker BM, men telleren og roten er ulike.

⚠️ Vanlig feil — å bruke loll-formelen her

Loll-formelen √(−2·GM/BM) gir null når GM = 0 — den sier riktig nok at et nøytralt skip ikke loller av seg selv, men den fanger ikke opp krengningen fra en flyttet vekt. Når GM = 0 og en vekt er flyttet, er det kubikkformelen som gjelder.

🧠 Sjekk deg selv: Et skip har GM = 0 og ligger rett. Hvorfor blir det liggende rett helt til noe flyttes — i motsetning til et skip med negativ GM?

📝 Nå prøver du — gjenkjenn tilfellet (faded)

Q. «Et skip med GM = −0,15 m og BM = 6 m ligger til ro uten at last er flyttet. Hvilken vinkel?» Hvilken formel hører oppgaven til, og hva er svaret?

Hint: les fortegnet til GM og se om en vekt er flyttet.

🃏

Flashkort — aktiv gjenkalling

Klikk på et kort for å snu det. Vurder ærlig: Igjen hvis du slet, Bra/Lett hvis det satt. Vurderingene lagres på denne enheten og omorganiserer bunken slik at de svake kortene kommer igjen tidligere (et Leitner-system). Prøv å svare høyt før du snur.

Spørsmål

Svar

✅

Selvtest

Svar først, sjekk etterpå. Spørsmålene er blandet på tvers av seksjonene med vilje — og noen knytter tilbake til kapittel 14 og 31. Å kjenne igjen hvilket verktøy en oppgave krever, er halve faget. Vurder hvor sikker du er; der sikkerhet og fasit spriker, finner du de virkelige hullene dine.

1. Hvorfor kan du ikke bruke tan(slagside) = GG_H/GM når GM = 0?

Fordi GG_H også blir null, så svaret blir 0/0 Fordi du deler på null, og liten-vinkel-modellen bak formelen ikke lenger gjelder Fordi BM da blir negativ Fordi skipet alltid velter når GM = 0

Hvor sikker er du: lav middels høy

2. Skriv formelen for slagside ved GM = 0 når en vekt w flyttes en tverrskips avstand d (deplasement W, BM kjent).

3. Et skip på 8000 tonn deplasement har null GM og BM = 2 m. En masse på 10 tonn flyttes tverrskips 14 m. Finn slagsiden.

4. Et skip har GM = 0 og ligger rett, helt uten last flyttet. Hvilken vinkel legger det seg til?

En loll-vinkel gitt av √(−2·GM/BM) En slagside gitt av ∛(2·w·d/(BM·W)) Ingen — det blir liggende rett til noe flyttes 90°, fordi GM = 0 betyr at det velter

Hvor sikker er du: lav middels høy

5. Et skip på 10 000 tonn flyter i vann med tetthet 1,025 t/m³ og har null GM. Andre arealmoment av vannlinjeflaten om senterlinja er 10⁵ m⁴. En masse på 15 tonn flyttes tverrskips 18 m. Finn slagsiden.

6. I kubikkformelen for null-GM-slagside, hva er rollen til BM?

Den erstatter GM og bærer skipets oppreisende effekt ved de større vinklene Den er det samme som GM når GM = 0 Den brukes bare for å finne KB Den har ingen betydning; bare w og d teller

Hvor sikker er du: lav middels høy

Riktig: når GM = 0 er det BM-leddet (½·BM·tan²θ) i wall-sided-formelen som tar over og bestemmer hvor skipet kommer til ro. BM og GM er ikke det samme: GM = KM − KG, mens BM = KM − KB.

7. Start fra w·d·cos θ = W·sin θ·(GM + ½·BM·tan²θ) og vis hvordan du ender på kubikkformelen når GM = 0.

8. Forklar med egne ord forskjellen på de tre tilfellene: vanlig slagside (kap. 14), null-GM-slagside (her), og loll (kap. 31) — både fysisk og hvilken formel hver bruker.

➕

Flere øvingsoppgaver (valgfritt)

Hele «Exercise 44» fra boka. Prøv hver oppgave helt ferdig på papir før du åpner løsningen — det er der læringen sitter. Alle bruker samme kubikkformel; trikset er å skaffe riktig BM.

Ø1. Finn slagsiden når en masse på 10 tonn flyttes tverrskips 14 m i et skip på 8000 tonn deplasement med null GM. BM = 2 m.

Ø2. Et skip på 8000 tonn deplasement har null GM og BM = 4 m. Finn slagsiden hvis en vekt på 20 tonn flyttes tverrskips over dekket en avstand på 10 m.

Ø3. Et skip på 10 000 tonn flyter i vann med tetthet 1,025 t/m³ og har null GM. En masse på 15 tonn flyttes tverrskips 18 m. Andre arealmoment av vannlinjeflaten om senterlinja er 10⁵ m⁴. Beregn slagsiden.

Ø4. Et skip på 12 250 tonn deplasement flyter rett. KB = 3,8 m, KM = 8 m og KG = 8 m. Anta wall-sided. Finn slagsiden hvis en masse på 2 tonn, allerede om bord, flyttes tverrskips 12 m.

📅

Repetisjonsplan (spredt repetisjon)

Glemselskurven er bratt i starten og flater ut hver gang du repeterer. Å repetere med økende mellomrom — tett først, så glissent — fester stoffet for langt mindre total tid enn å lese om igjen. Det viktigste er at du sprer øktene; det eksakte intervallet er bare en tommelfingerregel. Datoene under regnes fra første gang du åpnet guiden.

Repetisjon	Når	Dato	Hva du gjør

Tips: start hver økt med å gjenkalle hovedformelen tan θ = ∛(2·w·d/(BM·W)) og hvorfor GM forsvinner. Ta så selvtesten fra hukommelsen. Har du eksamen snart, komprimer intervallene heller enn å droppe spredningen helt.

📌

Sammendrag og ordliste

🔑 Hovedpoeng — på én pust

Når GM = 0 deler den vanlige slagsideformelen tan list = GG_H/GM på null og må forkastes. I stedet bruker du wall-sided-relasjonen: momentbalansen w·d·cos θ = W·GZ med GZ = (GM + ½·BM·tan²θ)·sin θ. Setter du GM = 0 og rydder, faller GM-leddet bort og du står igjen med kubikkformelen tan θ = ∛(2·w·d/(BM·W)). Skaff BM fra KM − KB eller I/V. Hold tilfellet fra hverandre fra vanlig slagside (GM > 0, kap. 14) og loll (GM < 0, kap. 31).

Ordliste

Metasenterhøyde (metacentric height, GM): Avstanden fra tyngdepunktet G til metasenteret M; GM = KM − KG. Et mål på oppreisende stivhet i utgangsstillingen. Her er den null.
Null metasenterhøyde (zero GM): Grensetilfellet der skipet er nøytralt: verken rettende eller veltende moment i opprett stilling.
Slagside (list): Vedvarende krengning fra et tverrskips krengemoment (f.eks. en flyttet vekt).
Wall-sided-formel (wall-sided formula): Uttrykk for GZ ved større vinkler for et skip med tilnærmet loddrette sider i vannlinja: GZ = (GM + ½·BM·tan²θ)·sin θ.
BM (metasenterradius): Avstanden fra oppdriftssenteret B til metasenteret M; BM = I/V = KM − KB. Bærer responsen når GM = 0.
Kubikkformelen (null-GM-slagside): tan θ = ∛(2·w·d/(BM·W)). Slagside ved GM = 0 når en vekt w flyttes tverrskips avstanden d.
GG_H: Den vannrette (tverrskips) forskyvningen av tyngdepunktet når en vekt flyttes: GG_H = (w·d)/W.
Loll-vinkel (angle of loll): Vinkelen et skip med negativ GM legger seg til av seg selv: tan θ = √(−2·GM/BM) (kap. 31).
Andre arealmoment (second moment of area, I): Geometrisk størrelse for vannlinjeflaten om senterlinja (kap. 11); inngår i BM = I/V.

Kilder og videre lesing

Barrass, C. B. & Derrett, D. R. (2006). Ship Stability for Masters and Mates, 6. utg. (Consolidated 2006). Elsevier Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-7506-6784-5 — Kapittel 44: «List with zero metacentric height» (s. 379–381). Hovedkilden dette materialet bygger direkte på, inkludert det gjennomarbeidede eksempelet og Exercise 44.
Samme bok, kapittel 14 «List» — den ordinære slagsideformelen tan(slagside) = GG_H/GM som dette kapittelet erstatter ved GM = 0.
Samme bok, kapittel 31 «Angle of loll» — nabotilfellet med negativ GM, tan θ = √(−2·GM/BM); samme wall-sided-bakgrunn, men ulik formel.
Samme bok, kapittel 11–12 — BM = I/V og KB, BM / metasenterdiagram, som du bruker for å skaffe BM i oppgavene.
IMO (2008): International Code on Intact Stability (IS Code), 2008 — kontekst for hvorfor positiv GM (og dermed en margin mot GM = 0) kreves i drift.

Du er ved veis ende 🎉

Lukk guiden og prøv å gjenkalle de fem læringsmålene fra hukommelsen. Skriv ned hovedformelen tan θ = ∛(2·w·d/(BM·W)) og forklar høyt hvorfor GM faller bort. Regn så bokas eksempel (5° 34′) uten å se. Kom tilbake etter repetisjonsplanen.