MFA-2010 · Skipsstabilitet · Del 1 · Kapittel 8

TPC og deplasementskurver

Hvor mye synker skipet om du laster 50 tonn? Og hvor mange tonn er egentlig om bord ved en gitt dypgang? Med TPC (tonn per centimeter) og en ferdig deplasementskurve svarer du på begge på sekunder — og det er nettopp dette en styrmann gjør hver gang lasten endrer seg.

⏱ ~35 min lesing
🎯 Nivå: Grunnleggende (dekksoffiser)
🌐 Språk: Norsk (bokmål)
🃏 18 flashkort
✅ 8 quizspørsmål

Når du er ferdig, vil du kunne …

Definere TPC og deplasement med riktige enheter (tonn, tonn/cm).huske/forstå
Forklare hvorfor TPC for et boksformet skip er konstant, men avtar med lavere dypgang for et virkelig skrog.forstå/analysere
Beregne TPC i saltvann og ferskvann ut fra vannlinjearealet (WPA).anvende
Konstruere en TPC-kurve og en deplasementskurve fra en tabell, og lese av mellomverdier.anvende
Beregne ny middeldypgang etter at last lastes eller losses, med TPC eller deplasementskurven.anvende/analysere
Vurdere når den enkle TPC-metoden bryter sammen og du må bruke to TPC-verdier (stor vektendring).vurdere

Slik får du mest ut av denne guiden (2 min)

Guiden er bygd på det som faktisk får kunnskap til å feste seg:

Prøv før du titter. Hver Sjekk deg selv-boks stiller spørsmålet først. Svar i hodet (eller høyt) før du viser fasiten — selve anstrengelsen ved å hente fram svaret er poenget (aktiv gjenkalling / retrieval practice).
Regn med blyant. Faget sitter i fingrene. Gjør de gjennomarbeidede eksemplene selv, og prøv «Nå prøver du»-oppgavene uten å se på løsningen.
Spre lesingen. Ikke skipp alt på én kveld. Bruk repetisjonsplanen til slutt — korte økter over flere dager slår én lang økt. Det er spredningen som teller, ikke det eksakte intervallet.
Forklar hvorfor. Si med dine egne ord hvorfor et svar er riktig. Føles det vanskelig? Det er ofte et tegn på at du faktisk lærer.

Oversikt og forkunnskaper

Dette kapittelet handler om to praktiske verktøy som svarer på to spørsmål en styrmann stiller hver eneste dag:

Hvor mye flytter dypgangen seg når jeg laster eller losser et visst antall tonn? → bruk TPC (tonnes per centimetre).
Hvor mange tonn er om bord ved en gitt dypgang (og motsatt)? → les av deplasementskurven.

Begge bygger rett på arkimedes' prinsipp fra tidligere i faget: et flytende skip fortrenger sin egen vekt i vann. Deplasement (displacement) er nettopp vekten av vannet skipet fortrenger — altså skipets totale vekt akkurat nå. Du møter også igjen vannlinjearealet (water-plane area, WPA) og skillet mellom salt- og ferskvann (tetthet 1,025 mot 1,000 t/m³).

Last et antall tonn, og skipet synker fra T₁ til T₂. TPC sier hvor mange tonn som skal til for å flytte dypgangen 1 cm — og det avhenger av hvor stort vannlinjearealet (den grønne flaten) er.

🔑 Slik henger kapittelet sammen

Fire byggeklosser: (1) TPC — definisjon og formelen TPC = WPA / 97,56 i saltvann; (2) TPC-kurven — hvorfor TPC endrer seg med dypgang og hvordan du plotter den; (3) deplasementskurven — å gå begge veier mellom dypgang og tonn; og (4) regne ny dypgang etter lasting/lossing, inkludert når vektendringen er så stor at én TPC ikke holder.

🧠 Sjekk forkunnskapene: Hva er «deplasement» (displacement) for et flytende skip, og hvilken vekt er det egentlig lik?

TPC — definisjon og formel

✓ lært

TPC (tonn per centimeter, tonnes per centimetre) er den massen du må laste eller losse for å endre skipets middeldypgang (mean draft) med nøyaktig 1 cm.

🔑 Nøkkelpoeng — definisjon

TPC = antall tonn som flytter middeldypgangen 1 cm. Større skip (større vannlinjeareal) krever flere tonn per centimeter, så TPC er stor; smale eller små skip har liten TPC.

I saltvann (tetthet 1,025 t/m³) finner du TPC fra vannlinjearealet:

TPC₍SV₎ = WPA / 97,56

der WPA er vannlinjearealet (water-plane area) i kvadratmeter — flaten skroget skjærer i vannflaten ved den aktuelle dypgangen.

🔑 Hvor kommer 97,56 fra?

1 cm dypgang = 0,01 m. Det fortrengte volumet ved å synke 1 cm er WPA × 0,01 m³. Massen av dette saltvannet er WPA × 0,01 × 1,025 tonn. Det er TPC. Regn om: 0,01 × 1,025 = 0,01025 = 1/97,56. Derfor TPC = WPA / 97,56.

Ferskvann

I ferskvann (tetthet 1,000 t/m³) blir det samme regnestykket med 1,000 i stedet for 1,025:

TPC₍FV₎ = WPA / 100 eller TPC₍FV₎ = TPC₍SV₎ × (1,000 / 1,025)

Ferskvann er lettere, så det skal færre tonn til for å synke 1 cm — TPC i ferskvann er alltid litt mindre enn i saltvann (faktor 1,000/1,025 ≈ 0,976).

Tenk på TPC som vekten av en 1 cm tynn skive saltvann med samme flate som vannlinjearealet. Stor flate → tung skive → stor TPC.

📝 Gjennomarbeidet eksempel — TPC fra WPA

Q. Et skip har vannlinjeareal 1750 m² ved sin nåværende dypgang. Finn TPC i saltvann og i ferskvann.

TPC₍SV₎ = 1750 / 97,56 = 17,94 tonn

TPC₍FV₎ = 1750 / 100 = 17,50 tonn

Svar: TPC er 17,94 tonn i saltvann og 17,50 tonn i ferskvann. Sjekk: 17,94 × 1,000/1,025 = 17,50 ✓.

🧠 Sjekk deg selv: Et boksformet lekter har vannlinjeareal 600 m². Hva er TPC i saltvann?

TPC-kurver

✓ lært

For et virkelig skrog er vannlinjearealet ikke konstant: går du lavere i dypgang, blir skroget smalere mot bunnen, så WPA — og dermed TPC — avtar ved lavere dypgang. For å slå opp TPC ved en hvilken som helst dypgang lager man derfor en TPC-kurve.

🔑 Nøkkelpoeng — boks mot virkelig skrog

For et boksformet fartøy er vannlinjearealet det samme ved alle dypganger (hvis trimmen er konstant), så TPC er konstant. For et virkelig skrog avtar WPA mot bunnen, så TPC blir mindre ved lavere dypgang (se fig. 8.1 i boka).

⚠️ Slik plottes kurven (lett å bytte om)

Når du konstruerer en TPC-kurve, plotter du som regel dypgang på den loddrette aksen og TPC på den vannrette aksen — motsatt av «x mot y» du er vant til fra matten. Da leser du av som på et peilekort: finn dypgangen på y-aksen, gå bort til kurven, les TPC.

Du beregner TPC for en rekke dypganger (fra lett til lastet), setter dem i en tabell, og plotter dem. Mellom de beregnede punktene leser du av kurven.

📝 Gjennomarbeidet eksempel — TPC-kurve (bokas eksempel)

(a) Konstruer en graf fra disse dataene:

Middeldypgang (m)	3,0	3,5	4,0	4,5
TPC (tonn)	8,0	8,5	9,2	10,0

(b) Av grafen leser du TPC ved mellomliggende dypganger:

ved 3,2 m → TPC ≈ 8,17 tonn
ved 3,7 m → TPC ≈ 8,77 tonn
ved 4,3 m → TPC ≈ 9,68 tonn

(c) Skipet flyter ved 4 m dypgang og laster så 50 tonn last, 10 tonn ferskvann og 25 tonn bunkers, mens 45 tonn ballast losses. Finn ny middeldypgang.

Ved 4 m er TPC = 9,2 tonn. Nettolast:

(50 + 10 + 25) − 45 = 85 − 45 = 40 tonn lastet netto

økning i dypgang = w / TPC = 40 / 9,2 = 4,35 cm = 0,044 m

ny middeldypgang = 4,000 + 0,044 = 4,044 m

Svar: ny middeldypgang ≈ 4,044 m.

Skjematisk TPC-kurve etter bokas data. Dypgang på y-aksen, TPC på x-aksen. Legg merke til at kurven er brattere nederst: TPC vokser raskere i de øvre dypgangene fordi vannlinjearealet øker oppover skroget.

⚠️ Stor vektendring? Da holder ikke én TPC

Er nettovekten som lastes/losses veldig stor, blir dypgangsendringen så stor at TPC ved start og slutt skiller seg merkbart. Da: finn en foreløpig ny dypgang med TPC ved start-dypgangen, slå opp TPC ved denne omtrentlige nye dypgangen, og bruk gjennomsnittet av de to TPC-ene til å regne den faktiske endringen.

🧠 Forklar hvorfor: Hvorfor er TPC for et boksformet fartøy konstant, mens den avtar ved lavere dypgang for et virkelig skip?

📝 Nå prøver du — ny dypgang med TPC (faded)

Q. Et skip flyter ved 3,5 m, der TPC = 8,5 tonn. Det lastes 34 tonn last og 9 tonn bunkers, mens 7 tonn ferskvann losses. Finn ny middeldypgang. (Anta at vektendringen er liten nok til at én TPC holder.)

Hint: finn nettovekt først, så endring i dypgang = w / TPC (i cm), gjør om til meter, legg til.

Deplasementskurver

✓ lært

En deplasementskurve (displacement curve) lar deg finne skipets deplasement (totalvekt i tonn) ved en gitt dypgang — og motsatt: finne dypgangen for et gitt deplasement.

🔑 Nøkkelpoeng — hva kurven viser

Dypgang på den loddrette aksen, deplasement (tonn) på den vannrette. Du går begge veier: dypgang → tonn, eller tonn → dypgang. Hele poenget er at vekt om bord og hvor dypt skipet ligger er to sider av samme sak.

🔑 Praktiske tips for å tegne kurven

Bruk størst mulig målestokk for god nøyaktighet, og legg deplasementet langs den lengste kanten av papiret. Du trenger sjelden å starte skalaen på null — informasjonen brukes bare mellom lett og lastet deplasement (det området kalles «boot-topping»-området).

Differansen mellom lastet deplasement og lett deplasement er dødvekten (deadweight) — alt skipet kan bære av last, bunkers, vann og forsyninger.

📝 Gjennomarbeidet eksempel — deplasementskurve (bokas eksempel)

(a) Konstruer en deplasementskurve fra disse dataene:

Dypgang (m)	3,0	3,5	4,0	4,5	5,0	5,5
Deplasement (tonn)	2700	3260	3800	4450	5180	6060

(b) Dødvekt. Lett dypgang 3,0 m → 2700 tonn; lastet dypgang 5,5 m → 6060 tonn.

dødvekt = 6060 − 2700 = 3360 tonn

(c) Dypgang med bunkers og stores om bord. 500 tonn bunkers + 50 tonn ferskvann og forsyninger oppå lett deplasement:

2700 + 500 + 50 = 3250 tonn → fra kurven: dypgang ≈ 3,48 m

(d) Ny dypgang etter lasting/lossing. Ved 5,13 m mean draft er deplasementet (fra kurven) ≈ 5380 tonn. Skipet losser 2100 tonn last og laster 250 tonn bunkers:

5380 − 2100 + 250 = 3530 tonn → fra kurven: ny dypgang ≈ 3,775 m

(e) TPC ved 4,4 m. TPC er stigningen på kurven. Bruk deplasementet rett over og under (avlest fra kurven: 4,5 m → 4450 tonn; 4,3 m → 4175 tonn):

endring for 0,2 m (= 20 cm) = 4450 − 4175 = 275 tonn

TPC = 275 / 20 = 13,75 tonn

(f) Hvor mye mer last kan lastes? Skipet flyter ved 5,2 m, lastet dypgang er 5,5 m. Fra kurven: 5,5 m → 6060 tonn; 5,2 m → 5525 tonn:

last = 6060 − 5525 = 535 tonn

Svar: dødvekt 3360 t; dypgang med stores ≈ 3,48 m; ny dypgang ≈ 3,775 m; TPC ved 4,4 m = 13,75 t; plass til ≈ 535 t mer last.

Skjematisk deplasementskurve etter bokas data. For å gå fra tonn til dypgang (grønn avlesning): finn deplasementet på x-aksen, gå opp til kurven, les av dypgangen på y-aksen. For motsatt vei snur du framgangsmåten.

🪄 Analogi

Tenk på deplasementskurven som et målebånd skreddersydd for nettopp dette skroget. Et vanlig målebånd gir lengde rett av; her gir kurven «tonn ↔ dypgang» rett av — fordi skrogets form allerede er bakt inn i kurven. Du slipper å regne på arkimedes hver gang.

🧠 Sjekk deg selv: Lett deplasement er 2700 tonn (3,0 m), lastet deplasement 6060 tonn (5,5 m). Hva er dødvekten, og hva betyr den?

📝 Nå prøver du — gå fra tonn til dypgang (faded)

Q. Bruk kurven over. Skipet har lett deplasement 2700 tonn (3,0 m) og tar om bord 1100 tonn last. Hvilket deplasement har det da, og omtrent hvilken dypgang gir det (sammenlign med tabellpunktene)?

Hint: legg lasten til lett deplasement, finn så hvilke to tabellrader det nye deplasementet ligger mellom.

Regne ny dypgang — velg riktig verktøy

✓ lært

Du har nå to metoder. Hvilken du velger, avhenger av hvor mye vekt som endres og hva du har for hånden.

🔑 Nøkkelpoeng — tre tilfeller

(1) Liten vektendring, TPC kjent: bruk endring i dypgang = w / TPC (cm), legg til/trekk fra. (2) Vekten er stor: bruk to TPC-er (ved start og ved omtrentlig ny dypgang) og ta gjennomsnittet. (3) Du har deplasementskurven: regn nytt totaldeplasement i tonn og les av ny dypgang direkte — da slipper du TPC helt.

Når den enkle TPC-metoden bryter sammen

Den enkle formelen w / TPC antar at TPC er den samme gjennom hele dypgangsendringen. Det stemmer bra for små endringer. Men er nettovekten veldig stor, endrer dypgangen seg mye — og siden TPC selv avhenger av dypgang, blir TPC ved slutten en annen enn ved start. Da gir én TPC feil svar.

📝 Framgangsmåte ved stor vektendring

Finn TPC ved start-dypgangen.
Regn en foreløpig ny dypgang med denne TPC-en.
Slå opp TPC ved denne omtrentlige nye dypgangen.
Ta gjennomsnittet av de to TPC-ene og regn den faktiske endringen i dypgang på nytt.

📝 Gjennomarbeidet eksempel — TPC i ferskvann mot saltvann

Q. Et skip har TPC = 20,5 tonn i saltvann. Hva er TPC i ferskvann, og hvorfor er den mindre?

TPC₍FV₎ = TPC₍SV₎ × 1,000 / 1,025 = 20,5 × 0,9756 = 20,0 tonn

Svar: ≈ 20,0 tonn. Mindre fordi ferskvann er lettere — det skal færre tonn til for å fortrenge samme volum og synke 1 cm.

🧠 Sjekk deg selv: Du skal losse 1500 tonn fra et lite skip der TPC er bare 9 tonn. Hvorfor er det risikabelt å bruke én enkelt TPC for hele endringen?

📝 Nå prøver du — to-TPC-metoden (faded)

Q. Et skip flyter ved 4,0 m der TPC = 9,2 tonn. Det losses 184 tonn. Bruk så TPC = 8,5 tonn ved den omtrentlige nye dypgangen. Finn ny dypgang med gjennomsnittlig TPC.

Hint: regn først foreløpig endring med 9,2; bruk så gjennomsnittet (9,2 + 8,5)/2 for den faktiske endringen.

🃏

Flashkort — aktiv gjenkalling

Klikk på et kort for å snu det. Vurder ærlig: Igjen hvis du slet, Bra/Lett hvis det satt. Vurderingene lagres på denne enheten og omorganiserer bunken slik at de svake kortene kommer igjen tidligere (et Leitner-system). Prøv å svare høyt før du snur.

Spørsmål

Svar

✅

Selvtest

Svar først, sjekk etterpå. Spørsmålene er blandet på tvers av seksjonene med vilje — å kjenne igjen hvilket verktøy en oppgave krever, er halve faget. Vurder hvor sikker du er; der sikkerhet og fasit spriker, finner du de virkelige hullene dine.

1. Hva betyr det at et skip har TPC = 12 tonn?

Skipet veier 12 tonn per meter dypgang Vannlinjearealet er 12 m² Det skal 12 tonn til for å endre middeldypgangen 1 cm Dypgangen endrer seg 12 cm per tonn last

Hvor sikker er du: lav middels høy

2. Et skip har vannlinjeareal 1220 m². Finn TPC i saltvann og i ferskvann.

3. Hva skjer med TPC når et virkelig skip ligger lavere i vannet (mindre dypgang)?

TPC øker, fordi skroget er bredere mot bunnen TPC avtar, fordi vannlinjearealet blir mindre mot bunnen TPC er alltid konstant, uansett skrogform TPC avtar, fordi vannet blir tettere dypere nede

Hvor sikker er du: lav middels høy

4. Et skip flyter ved 5,0 m med TPC = 14 tonn. Det lastes 70 tonn last og losses 14 tonn ferskvann. Finn ny middeldypgang (anta én TPC holder).

5. Hvordan plottes vanligvis en TPC-kurve eller deplasementskurve?

Dypgang på loddrett akse, TPC/deplasement på vannrett akse Dypgang på vannrett akse, TPC/deplasement på loddrett akse Begge størrelser må alltid starte på null Tid på vannrett akse, dypgang på loddrett

Hvor sikker er du: lav middels høy

6. Fra en deplasementskurve: lett deplasement er 1850 tonn, lastet deplasement 5300 tonn. Hva er dødvekten?

7. På en deplasementskurve er deplasementet 4450 tonn ved 4,5 m og 4175 tonn ved 4,3 m. Finn TPC ved ca. 4,4 m.

8. Skriv med egne ord hvorfor den enkle formelen «endring i dypgang = w / TPC» kan gi feil svar ved en stor vektendring — og hva du gjør i stedet.

➕

Flere øvingsoppgaver (valgfritt)

Fra «Exercise 8» i boka. Disse krever at du tegner kurven på rutepapir og leser av — prøv hver oppgave helt ferdig på papir før du åpner løsningen. Avlesningene under er omtrentlige, slik grafmetoden alltid er.

Ø1 (oppg. 2c). En TPC-kurve er laget av: dypgang 1–5 m mot vannlinjeareal 336, 567, 680, 743, 777 m². Ved 3,8 m losses 380 t last, 375 t bunkers, 5 t forsyninger og 125 t ferskvann. Finn ny middeldypgang.

Ø2 (oppg. 7b). En deplasementskurve er laget av: dypgang 1–6 m mot deplasement 335, 767, 1270, 1800, 2400, 3100 tonn. Skipet begynte lasting ved 3,0 m og endte ved 4,2 m mean draft. I løpet av dagen ble 85 t saltvannsballast pumpet ut. Hvor mye last ble lastet?

Ø3 (oppg. 8c). Bruk deplasementskurven fra oppg. 8: dypgang 1–6 m mot 300, 1400, 3200, 5050, 7000, 9000 tonn. Skipet losset 1700 t last og lastet 400 t bunkers; ny mean draft ble 4,5 m. Finn den opprinnelige middeldypgangen.

📅

Repetisjonsplan (spredt repetisjon)

Glemselskurven er bratt i starten og flater ut hver gang du repeterer. Å repetere med økende mellomrom — tett først, så glissent — fester stoffet for langt mindre total tid enn å lese om igjen. Det viktigste er at du sprer øktene; det eksakte intervallet er bare en tommelfingerregel. Datoene under regnes fra første gang du åpnet guiden.

Repetisjon	Når	Dato	Hva du gjør

Tips: start hver økt med å ta selvtesten fra hukommelsen. Les bare om igjen det du bommer på. Har du eksamen snart, komprimer intervallene heller enn å droppe spredningen helt.

📌

Sammendrag og ordliste

🔑 Hovedpoeng — på én pust

TPC (tonn per centimeter) = tonn som flytter middeldypgangen 1 cm; i saltvann TPC = WPA / 97,56, i ferskvann WPA / 100 (eller TPC₍SV₎ × 1,000/1,025). For et boksformet skrog er TPC konstant; for et virkelig skrog avtar den ved lavere dypgang fordi vannlinjearealet krymper — derfor lager man en TPC-kurve (dypgang loddrett, TPC vannrett). En deplasementskurve gir tonn ↔ dypgang begge veier; differansen lett→lastet deplasement er dødvekten. Ny dypgang: små vektendringer → w / TPC; store endringer → gjennomsnitt av to TPC-er; har du deplasementskurven → regn nytt totaldeplasement og les av dypgangen direkte.

Ordliste

TPC (tonnes per centimetre): Massen i tonn som må lastes/losses for å endre middeldypgangen med 1 cm.
Vannlinjeareal (water-plane area, WPA): Flaten skroget skjærer i vannflaten ved en gitt dypgang; måles i m². Grunnlaget for TPC.
Deplasement (displacement): Vekten av vannet skipet fortrenger = skipets totale vekt akkurat nå. Måles i tonn.
Deplasementskurve (displacement curve): Kurve som gir deplasement ved en gitt dypgang og omvendt; dypgang loddrett, tonn vannrett.
TPC-kurve: Kurve som gir TPC ved en gitt dypgang; brukes fordi TPC varierer med dypgang for et virkelig skrog.
Middeldypgang (mean draft): Gjennomsnittlig dypgang for skipet; den dypgangen TPC og kurvene er knyttet til.
Lett deplasement (light displacement): Skipets vekt tomt (uten last, bunkers, vann, forsyninger).
Lastet deplasement (load displacement): Skipets vekt ved lastet dypgang (maksimalt tillatt last om bord).
Dødvekt (deadweight): Lastet deplasement minus lett deplasement: maks vekt skipet kan bære.
Boot-topping-området: Dypgangsområdet mellom lett og lastet deplasement — det eneste området kurvene brukes i.
Saltvann/ferskvann: Tetthet 1,025 t/m³ mot 1,000 t/m³; gir faktoren mellom TPC₍SV₎ og TPC₍FV₎.

Kilder og videre lesing

Barrass, C. B. & Derrett, D. R. (2006). Ship Stability for Masters and Mates, 6. utg. (Consolidated 2006). Elsevier Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-7506-6784-5 — Kapittel 8: «TPC and displacement curves» (s. 56–61, inkl. fig. 8.1, fig. 8.2 og Exercise 8). Hovedkilden dette materialet bygger direkte på.
Samme bok, kap. 3–4 («Density and specific gravity», «Laws of flotation») — for arkimedes' prinsipp, deplasement og tetthet som TPC og deplasementskurven hviler på.
Samme bok, kap. 9 («Fresh water and dock water allowances») — videre bruk av TPC og tetthetsforskjellen salt-/ferskvann.
Bureau International des Poids et Mesures (BIPM): The International System of Units (SI) — for offisielle enheter (tonn, kubikkmeter, tetthet). https://www.bipm.org/en/publications/si-brochure

Du er ved veis ende 🎉

Lukk guiden og prøv å gjenkalle de seks læringsmålene fra hukommelsen. Skriv opp TPC-formelen, forklar hvorfor TPC avtar ved lav dypgang, og regn ett w / TPC-eksempel uten å se. Kom tilbake etter repetisjonsplanen.